Ecuația în diferențiale complete este o ecuație a formei
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0)
a cărui stânga este diferența totală a unei anumite funcții
U (x, y), adică dU (x, y) = M (x, y) dx + N (x, y) dy.
Ne amintim că se constată diferența totală a funcției U
Condiția de verificare a ecuației pentru un diferențial complet are forma
(1)
Ecuația este reductibilă la DR în diferențiale complete
În unele cazuri, dependența
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
nu este o ecuație în diferențiale complete, condiția (1) nu este deținută. Cu toate acestea, există o funcție "mu" astfel încât, dacă înmulțim ecuația inițială prin aceasta, obținem o ecuație în diferențialele totale.
O condiție necesară și suficientă pentru aceasta este egalitatea derivatelor parțiale
Funcția "mu" se numește factorul de integrare.
Astfel, pe lângă DU în ceea ce privește funcția u (x, y), în practică este necesară rezolvarea unei ecuații diferențiale parțiale față de factorul de integrare.
Dar până acum problema rămâne, cum să căutați un factor de integrare?
Cum să găsiți factorul de integrare?
În teorie, tehnica este de obicei dezvoltată și factorul de integrare trebuie căutat în formă
unde "omega" este o funcție cunoscută a uneia sau a două variabile.
În acest caz, obținem
După înlocuirea în condiția diferenței totale, obținem
Să împărțim variabilele în ultima linie
Integrarea și stabilirea constantei de integrare egale cu zero, găsim factorul de integrare
Să luăm în considerare cazuri speciale.
1) Fie "omega" egal cu argumentul. Apoi, unele derivate parțiale sunt egale cu zero, iar factorul de integrare este găsit de la
2) Dacă "omega" este egal cu y, atunci formula pentru calculul factorului de integrare are forma
3) În cazul în care "omega" este egal cu suma sau diferența dintre pătratele variabilelor, factorul de integrare se găsește din
4) Și varianta atunci când avem un produs de variabile dă următoarea dependență pentru determinarea mu
Determinarea formulei factorului de integrare fără practică nu vă va învăța nimic, prin urmare vom lua în considerare sarcinile de la activitatea de control pe care veți vedea esența tuturor formulelor de mai sus. Exemple solicitate la Universitatea Națională Lviv. I. Frank.
Ecuația în diferențiale complete. Problema Cauchy.
Exemplul 1. Rezolvați ecuația diferențială și problema Cauchy
Soluție: scriem multiplicatorii pentru diferențiale
și verificăm dacă condiția diferențialului total al unei funcții a două variabile
După cum vedem, partea stângă a ecuației nu este o diferență completă (condiția nu se menține). Să verificăm dacă ecuația diferențială admite un factor de integrare
În partea dreaptă vedem că această ecuație admite un factor de integrare și depinde numai de y.
Să găsim factorul de integrare din ecuația diferențială cu variabilele separate
După înmulțirea tuturor termenilor ecuației cu factorul de integrare găsit "mu" (), obținem prima ordine
Dacă verificăm din nou DU, atunci condiția privind diferența totală a unei anumite funcții este îndeplinită
Apoi, rezolvăm DW rezultată, ca și în cazul diferenței totale obișnuite. Noi integrăm al doilea termen în y
Amintiți-vă regula - dacă integrarea merge y, atunci cea veche depinde de "X". și invers.
Cel vechi care intră în ecuațiile se determină prin calcularea derivatului parțial al soluției găsite în raport cu "ix" și prin egalizarea lui cu un multiplicator în DU pentru dx.
De aici găsim constanta
Luând în considerare toate cele de mai sus, notăm integral integralul ecuației diferențiale
În sarcină este necesară găsirea unei soluții parțiale (problema Cauchy). Pentru a face acest lucru, scriem o condiție suplimentară asupra funcției și definim vechea
Prin urmare, avem o soluție parțială a ecuației diferențiale
Este încă scris în formă implicită, dar în acest caz putem găsi dependența funcției de variabila y (x):
- soluția parțială a ecuației diferențiale.
Exemplul 2. Găsiți soluția cauzei Cauchy
Soluție: Notăm o ecuație diferențială de ordinul întâi în diferențiale
Mai mult, verificăm dacă avem un diferențial complet, scrieți factorii
și găsim derivate parțiale
Condiția privind diferența totală nu este îndeplinită.
Verificăm că această ecuație a factorului de integrare nu admite
Vedem că această ecuație admite un factor de integrare care depinde numai de y. Să o găsim prin integrarea ecuației
După înmulțirea tuturor termenilor ecuației cu factorul de integrare găsit, DW original este transformat în formă
care corespunde ecuației în diferențele totale
Cum de a rezolva o astfel de ecuație pe care deja o cunoașteți, așa că ne întoarcem la integrarea pentru simplitatea celui de-al doilea donk (lângă dx)
Pentru a determina constantul - căutăm derivatul parțial al funcției u cu "x" și echivalând-l cu al doilea factor din diferența totală
De data aceasta funcția veche nu este egală cu o constantă și pentru instalarea ei este necesar să se găsească mai multe integrale
Integralul general al ecuației diferențiale sub substituția C (x) ia forma
Rezolvăm problema Cauchy pentru DM
De aici avem
- soluția parțială a ecuației diferențiale.
Exemplul 3. Găsiți soluția ecuației în condițiile Cauchy
Soluție: rescriem DW scriind derivatul prin diferențiale
Mai departe continuăm prin tehnica unor astfel de ecuații.
Scriem multiplicatorii în apropierea diferențelor
Verificăm condiția privind diferența totală a funcției
Condiția nu are loc. Să verificăm dacă factorul de integrare admite ecuația dată?
După cum vedem, partea dreaptă depinde de y, deci ecuația admite un factor de integrare.
Găsiți-l de la DM
După înmulțirea tuturor termenilor ecuației cu factorul de integrare "mu", obținem următoarea ecuație
Condiția diferenței totale este confirmată
().
Mai mult, aplicăm tehnica DW în diferențiale complete. Din primul termen al ecuației prin integrare, găsim funcția u (y)
Apoi, calculăm derivatul parțial al funcției u (x, y) față de "x"
și o comparați cu derivatul parțial al ecuației inițiale
Este ușor să găsiți o constantă din acest lucru
Vom întoarce și scrie integrala generală a ecuației diferențiale
Prin ipoteză, este necesar să găsim un integral parțial al ecuației (rezolvăm problema Cauchy). Pentru a face acest lucru, determinăm valoarea funcției în acest punct
Constanta este egală cu 2, iar soluția parțială a DW
Pentru claritatea răspunsului găsim dependența (inversă) a lui x (y).
- o soluție parțială a ecuației
Un răspuns frumos în ciuda masei de transformări și integrale.
Din aceste răspunsuri ați primit o instrucțiune utilă pentru calcule. Pentru a verifica cunoștințele obținute, găsiți singuri soluția ecuațiilor utilizând factorul de integrare
Rămâi cu noi, mai sunt încă multe exemple gata făcute de ecuații diferențiale înainte.
Ecuații diferențiale
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: