Această metodă nu are restricții asupra formelor laturilor drepte ale sistemului (1) sau (4), cu excepția condițiilor existenței și a unicității soluției. Acesta poate fi folosit pentru a studia stabilitatea mișcării oricărui sistem de ecuații diferențiale, dar, din păcate, până acum nu a dezvoltat o metodă generală de construire a funcțiilor Lyapunov necesare pentru abordarea stabilității mișcării sistemelor neliniare.
La studierea stabilității mișcărilor sistemelor neliniare de tipul (1), această metodă ia în considerare și un sistem de ecuații diferențiale în deviații (4). Problema este de a determina condițiile pentru funcția vectorială. sub care poziția de echilibru a acestui sistem este stabilă asimptotic. După cum sa menționat mai sus, poziția de echilibru a sistemului (4) este stabilă asimptotic dacă vectorul său de stare satisface condițiile (11).
Dacă poziția de echilibru a sistemului este stabilă asimptotic, atunci distanța punctului reprezentativ față de originea coordonatelor scade cu timpul, posibil nonmonotonic, așa cum se arată de exemplu în Fig. 4. Dacă punctul singular al sistemului nu este asimptotic stabil, atunci această distanță nu scade la.
Ideea celei de-a doua metode Lyapunov este de a construi o funcție. care depinde de vectorul de stare al sistemului studiat, care scade pozitiv și monotonic cu scăderea valorii. Dacă această funcție tinde la zero, ca și distanța punctului reprezentant de la poziția de echilibru, atunci poziția de echilibru corespunzătoare va fi stabilă asimptotic.
Cu alte cuvinte, stabilitatea sau instabilitatea mișcării neperturbate a sistemului poate fi stabilită prin investigarea naturii schimbării funcției cu timpul.
Astfel de funcții se numesc funcțiile Lyapunov. Funcțiile Lyapunov sunt de obicei întotdeauna mai mari decât zero și au un derivat de timp negativ (în cazul stabilității poziției de echilibru) determinat pe traiectoriile sistemului studiat.
În acest sens, considerăm conceptul de funcție definită, t. E. pozitiv (negativ), semn clar și constantă este pozitiv funcții semidefinite (negative), precum și conceptul unui derivat în raport cu timpul de-a lungul traiectoriilor unui sistem dinamic.
Luați în considerare funcția. Lăsați această funcție să fie diferențiată; derivatele sale parțiale există pentru toți.
Definiția. Se spune că o funcție este pozitivă, dacă pentru orice
Este indicată o funcție pozitiv-definită. Funcțiile pozitive definite sunt, de exemplu, funcții
Definiția. Se spune că o funcție este semidefinită pozitivă dacă
Funcția pozitiv semidefinită este notată. O funcție pozitivă semidefinită este, de exemplu, funcția
O funcție negativ-definită este definită după cum urmează:
Se indică o funcție negativă-definită. dar negativ semidefinit.
Definiția. Se spune că o funcție este infinit de mare dacă pentru un număr există un număr astfel încât inegalitatea să rămână în afara sferei.
Formele quadratice. Adesea, ca funcții definite funcțional, folosim formele patrate, adică funcțiile formei
Matricile P ale formelor patrate sunt de obicei matrice simetrice, adică cele pentru care
Condițiile pentru caracterul definitiv pozitiv al unei forme patrate cu o matrice simetrică sunt următoarele.
Criteriul lui Sylvester. Pentru o caracteristică pozitivă a formei patrate (13), (14) este necesar și suficient ca toți minorii diagonali ai matricei P să fie strict mai mari decât zero.
Matricele P care îndeplinesc criteriul Sylvester sunt numite pozitiv definite și sunt de asemenea indicate.
Să presupunem că matricea P este simetrică, adică,
Pentru a estima caracteristica semnei acestei matrice, găsim următorii determinanți:
Apoi, conform criteriului Sylvester, matricea. dacă
Determinarea derivatului de timp de-a lungul traiectoriei sistemului. Acest derivat joacă un rol important în studiul stabilității mișcărilor sistemelor dinamice prin metoda funcției Lyapunov. Luați în considerare o funcție. definită pe variabilele de stare ale sistemului (4). Să-i găsim derivatul timpului de-a lungul traiectoriilor acestui sistem. Prin regula generală de diferențiere a unei funcții compuse, găsim
Cu toate acestea, în virtutea ecuației (4). Prin urmare, derivatul de timp al funcției V (x) de-a lungul traiectoriei sistemului (4) este dat de
Exemplul 2. Lăsați. iar ecuațiile sistemului au forma. Găsiți derivația timpului unei funcții de-a lungul traiectoriilor unui sistem dat.
Soluția. Folosind formulele (16) și (17), găsim
sau luând în considerare ecuațiile date pentru u:
După cum se poate observa, derivatul este negativ definit. Acest lucru indică faptul că funcția se descompune în mod monoton, diminuând amploarea pentru. Deoarece poate scădea numai odată cu scăderea. atunci norma soluției sistemului examinat tinde evident la zero. Și aceasta are loc în toate condițiile inițiale. În consecință, poziția de echilibru a sistemului în cauză este asimptotic stabilă ca un întreg.
Rețineți că această concluzie se face fără a rezolva ecuațiile diferențiale ale unui sistem neliniar dat și orice alte operații matematice pe ele.
Baza celei de-a doua metode Lyapunov pentru investigarea mișcărilor sistemelor dinamice este următoarea teoremă [2, 20].
Teorema 4 (privind stabilitatea asimptotică). În cazul în care
toate există o funcție pozitiv definit astfel încât derivatul său în raport cu timpul de-a lungul traiectoriilor sistemului (4) este o funcție certă negativă, atunci starea de echilibru al sistemului este asimptotic stabil în mari.
Teorema 5 (privind instabilitatea). Dacă e deloc. există o funcție pozitiv-definită astfel încât derivatul său de timp de-a lungul traiectoriilor sistemului (2) este de asemenea o funcție pozitivă definită, atunci poziția de echilibru a unui astfel de sistem este instabilă.
Teorema 6 (Barbashina-Krasovskii). Dacă la toate există o funcție infinit de mare pozitiv definit astfel încât derivatul său în raport cu timpul de-a lungul traiectoriilor sistemului (4) este negativ funcția semi-definită, dar dispare pe un set care nu conține traiectorii întregi (cu excepția poziției de echilibru) al sistemului (4) atunci poziția de echilibru a sistemului (4) este stabilă asimptotic în sistemul mare.
Funcție pozitivă și definită. satisface orice teoremă privind stabilitatea sau instabilitatea cu privire la un anumit sistem, se numește funcția Lyapunov a sistemului dat. Rețineți, de asemenea, că în cazul în care o funcție Liapunov satisface o anumită teoremă de stabilitate, nu de-a lungul spațiului, dar numai într-o anumită zonă, inclusiv poziția de echilibru, această regiune este o regiune de atracție a poziției de echilibru corespunzător.
Oferim exemple de studiu al stabilității mișcărilor sistemelor neliniare prin metoda funcției Lyapunov.
Articole similare
-
Metoda construirii funcției Lyapunov (a doua metodă a lui Lyapunov)
-
Procuratura Federației Ruse, sistemul organelor de urmărire penală, locul procuraturii în stat
Trimiteți-le prietenilor: