Metoda funcțiilor Lyapunov

Definiția funcției Lyapunov

Funcția Liapunov este o funcție scalară pe spațiul de fază a sistemului, care poate fi folosit pentru a demonstra stabilitatea poziției de echilibru. Metoda funcției Lyapunov este utilizată pentru a studia stabilitatea diferitelor ecuații și sisteme diferențiale. Mai jos ne limităm la considerarea sistemelor autonome \ [= mathbf \ stânga (\ mathbf \ right) \; \; \ text \ \ \; >>> = \ left (,, \ ldots,> \ right}; \; \] având poziția zero de echilibru \ (\ mathbf \ equiv \ mathbf. \)

Să presupunem că într-un anumit cartier \ (U \) origine dat o funcție \ continuu diferențiabilă [V \ left (\ mathbf \ dreapta) = V \ stânga (,, \ ldots,> \ dreapta). \] Să \ (V \ stânga (\ mathbf \ right)> 0 \) pentru toate \ (\ mathbf \ în U \ backslash \ left \<\mathbf \right\>,\) și la originea coordonatelor \ (V \ left (\ mathbf \ right) = 0. \) Astfel de funcții sunt, de exemplu, funcțiile formulei \ [,> \ right] = ax_1 ^ 2 + bx_2 ^ ; ,> \ dreapta) = ax_1 ^ 2 + bx_2 ^ 4,> \; \; 0.> \] Acum găsiți funcția de derivare \ (V \ stânga (\ mathbf \ dreapta) \) Timpul \ (t: \) \ [>> = \ Frac >>> \ Frac >>> + \ frac >> > \ frac >>> + \ cdots> + >>> \ frac >>>.> \] Această expresie poate fi scrisă sub forma unui produs scalar format din două vectori: \ [>> = \ left (\, V, \ frac >> >> \ dreapta), \; \; \ textul \; \; >>>>, \ Frac >>>, \ ldots, \ Frac >>>> \ dreapta),> \; \; >>> = \ stânga (>>>, \ frac >>>, \ ldots, \ frac >>>> \ right). \\ Aici primul vector reprezintă gradientul funcției \ (V \ left (\ mathbf \ right) .E. Este întotdeauna îndreptată către cea mai mare creștere a funcției \ (V \ left (\ mathbf \ right).) Ca regulă, funcția \ (V \ left (\ mathbf \ right) \) crește pe măsură ce vă deplasați de la origine; sub condiția \ (. \ din stânga | \ mathbf \ dreapta | \ la \ infty \) al doilea vector pentru produsul scalar - este un vector de viteză. În orice punct, este direcționat de-a lungul tangentei la traiectoria de fază.

Considerăm cazul în care derivatul funcției \ (V \ left (\ mathbf \ right) \) din vecinătatea \ (U \) originii este negativ: \ [\ frac >> = \ left, \, frac >>>> \ right) 0 \) pentru toate \ (\ mathbf \ in U \ backslash \ left \<\mathbf \right\>\);

\ (V \ stânga (\ mathbf \ right) = 0 \);

Teoreme privind stabilitatea

Teorema de stabilitate în sensul lui Lyapunov. În cazul în care un cartier \ (U \) zero, soluții \ (\ mathbf = \ mathbf \) sistem autonom există funcția Liapunov \ (V \ stânga (\ mathbf \ dreapta), \) poziția de echilibru \ (\ mathbf = \ mathbf \ ) este stabilă la Lyapunov.

Teorema privind stabilitatea asimptotică. În cazul în care un cartier \ (\ U), soluții de zero \ (\ mathbf = \ mathbf \) există un sistem autonom al funcției Liapunov \ (V \ stânga (\ mathbf \ dreapta) \) cu negativ derivat definit \ (>> \ normalsize> 0 \).

În cazul în care cartier \ (U \) există puncte în care \ (V \ stânga (\ mathbf \ dreapta)> 0, \), apoi soluția omogenă \ (\ mathbf = \ mathbf \) este instabil. Teorema lui Chetaeva despre instabilitate. Să presupunem că în cartier \ (U \) zero, soluții \ (\ mathbf = \ mathbf \) sistem autonom, există o funcție în mod continuu diferențiabilă \ (V \ stânga (\ mathbf \ dreapta). \) Să vecinătate \ (U \) cuprinde un subdomeniu \ ( , \) inclusiv originea (figura 1 (3 \)), astfel încât

\ (\ Mathbf \ in \ backslash \ left \ \)<\mathbf \right\>\);

\ (\ Mathbf \ right) = 0 \) pentru toate \ (\ mathbf \ in \ delta, \) unde \ (\ delta \) indică limita subdomeniului \ (\).

Apoi soluția zero \ (\ mathbf = \ mathbf \) a sistemului este instabilă. În acest caz, traiectoriile de fază din subdomeniul \ (\) vor avea tendința de la origine.

Astfel, funcțiile Lyapunov fac posibilă stabilirea stabilității sau instabilității sistemului. Avantajul acestei metode este faptul că nu este necesar să se cunoască decizia în sine \ (\ mathbf \ stânga (t \ dreapta) \.) În plus, această metodă ne permite de a investiga stabilitatea pozițiilor de echilibru ale sistemelor instabile - de exemplu, în cazul în care punctul de echilibru este centru. Dezavantajul este că nu există o metodă generală pentru construirea funcțiilor Lyapunov. În cazul particular al sistemelor autonome omogene cu coeficienți constanți ai funcției Liapunov pot fi găsite în forma unei forme pătratice.

Articole similare

• Metoda funcțiilor Lyapunov - investigarea sistemelor neliniare prin metode Lyapunov

• Metoda construirii funcției Lyapunov (a doua metodă a lui Lyapunov)

Trimiteți-le prietenilor: