Pentru a aplica teoremele de stabilitate de mai sus este necesar să găsim sau să construim o funcție Lyapunov V
NGChetaev a propus o metodă de construire a funcției Lyapunov V sub forma unui pachet de integrali ai ecuațiilor de mișcare.
Definiția 3.6. Funcția V = V (x) se numește primul integral al ecuațiilor de mișcare (3.5.1)
dacă derivatul total de timp al funcției V (x), calculat în virtutea acestor ecuații,
este identic egal cu zero;
V | (1,18) = dV / dt | 1,18 = ∂v / ∂x1 DX1 / dt + ... + ∂v / ∂xN DXN /dt|1.18 = ∂v / ∂x1 F1 + ... + ∂v / ∂xN FN ≡ 0. (3.8)
Rezultă din expresia (3.8) că V = V (x1 ..., xN) | (3.5.1) = const.
Exemple de integrale ale ecuațiilor de mișcare găsite folosind teoreme ale mecanicii
1. Dacă forțele conservatoare acționează asupra sistemului mecanic, atunci energia totală a sistemului rămâne în orice moment de mișcare. În acest caz, integrarea energiei totale a sistemului
T + π = h = const. (3.9)
2. În cazul în care forțele care acționează asupra sistemului mecanic, nu dau un moment în ceea ce privește o linie dreaptă fixă (notată cu axa x), apoi proiecția impulsului sistemului (sau momentul cinetic) G = Σ [rk. mk vk] (m - masa punctului sistemului k; rk, vk
Se păstrează vectorul de rază și viteza punctului k al sistemului) pe această linie. În acest caz, avem parte integrantă a proieciei momentului unghiular pe axa x:
Gx = const. (3.10)
3. Dacă forțele care acționează asupra sistemului mecanic nu dau un moment în raport cu nici o linie fixă (de exemplu, în absența forțelor), atunci vectorul momentului unghiular G este conservat. În acest caz avem vectorul integral al momentului cinetic G = const.
În forma scalară, acest integral este uneori convenabil convenabil ca U = G 2 = const. (3.11)
4. În cazul în care forțele care acționează asupra sistemului mecanic, nu dau o proiecție pe orice linie fixă (notată cu axa x), apoi proiecția impulsului Qx = sistem mvcx (m - masa întregului sistem, VCX - proiecția centrului de masă asupra vitezei axa x sistem) pe această linie este păstrată. În acest caz, avem o proiecție integrantă a impulsului mvcx = const.
Putem de asemenea scrie alte integrale ale ecuațiilor de mișcare ale sistemelor (vezi mai jos exemple specifice).
Dacă ecuațiile de mișcare ale sistemului au una independentă de timp, primul integral, de exemplu, integralul energiei totale (3.9)
U = T + P = const, (3.12)
apoi pentru a studia stabilitatea mișcării neperturbate x = 0 se poate alege funcția Lyapunov în formă
V = U (x) - U (0) = const (3.13)
Dacă funcția dată Lyapunov satisface cerințele teoremei de stabilitate a lui Lyapunov, atunci mișcarea neperturată x = 0 va fi stabilă în raport cu variabilele x1. ..., xN.
Dacă ecuațiile de mișcare ale sistemului au mai multe prime integrale independente independent de timp
U1 (x) = c1 = const, U2 (x) = c2 = const, .... (X) = ck = const, (3.14)
unde x = (x1 ..., xN) T. atunci funcția Lyapunov poate fi construită ca suma primelor integrale (3.14).
Indicăm valorile integralelor (3.14) pe mișcarea neperturată x = 0 după cum urmează
U1 (0) = c10 = const, U2 (0) = c20 = const, .... Uk (0) = ck0 = const. (3.15)
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: