Grup de transformări ale unui set. Subgrup al grupului de transformare
În geometrie, este necesar să nu se producă una, ci mai multe transformări care se urmează unul pe altul. Cazul este considerat atunci când setul de transformări, cu proprietatea că fiecare secvență finită de transformări ale acestui set poate fi înlocuit cu unul din aceeași transformare set și transformarea inversă oricăreia dintre transformările, aparține unui set dat din nou. Aceasta se numește grupul de transformare. Considerarea unui grup de transformări ne permite să distingem un număr de proprietăți geometrice. Cunoașterea proprietăților care nu se schimbă sub transformarea unui anumit grup, de multe ori face posibilă simplificarea soluționării problemelor geometrice specifice.
Definiția. O transformare a unei figuri este orice mapare bijectivă a unei figuri pe ea însăși.
Teorema (pe grupul de transformări). Setul W al tuturor transformărilor figurii este un grup.
Corolar. Setul tuturor transformărilor planului este un grup de transformări în ceea ce privește compoziția transformărilor.
Definiția. grupa subgrupă V W este un subset al setului V W, care este un grup în ceea ce privește operația binară definită în W.
Teoremă (într-o subgrupă). Pentru ca un subset V al grupului W să fie un subgrup, este necesar și suficient ca următoarele două condiții să fie valabile:
Convergența similitudinii unui plan. Homologia avionului
Definiția. Să presupunem că există două sisteme de coordonate carteziene dreptunghiulare Oij și O / i / j /. mai mult, | i / | = | j / | = k | i | = k | j | = k (k> 0). Apoi, planul de transformare pe care fiecare punct cu coordonatele M (x, y) cu privire la O / i / j / pune sub punctul M „cu aceleași coordonate (x, y), dar relativ Oij. se numește transformarea similitudinii unui plan cu un coeficient de similaritate k.
Din definiție rezultă că transformarea identității și mișcarea sunt transformări de similitudine.
Proprietatea principală a transformării similitudinii.
plan de conversie de similaritate modifică distanța dintre oricare două puncte plane în același raport egal cu coeficientul k de similitudine, adică, pentru toate punctele M, N și imaginile lor M „N“, egalitatea | .. M / N / | = k .
Dovada. Fie ca punctele M și N să aibă coordonate în raport cu Oij: M (x1, y1), N (x2, y2). Apoi =
Imaginile M 'și N' ale punctelor M, N au aceleași coordonate (x1, y1), (x2, Y2) în raport cu sistemul de coordonate O / i / j /. găsi:
Proprietăți de transformare a proprietății.
Transformarea similitudinii unui plan deplasează fiecare linie dreaptă într-o linie dreaptă.
Transformarea similitudinii unui plan deplasează o jumătate de plan cu limita în jumătate de plan cu granița în care se află.
Transformarea asemănării planului păstrează relația simplă dintre cele trei puncte ale liniei.
Transformarea asemănării planului păstrează relația "se află între".
Transformarea similitudinii planului reprezintă unghiul în unghi egal.
Transformarea similitudinii unui plan deplasează un segment într-un segment, o rază într-o rază.
Transformarea similitudinii unui plan deplasează linii paralele la linii paralele.
Corolar. Transformarea similitudinii unui plan compune o paralelogramă cu o paralelogramă.
Transformarea similitudinii unui plan comportă un vector într-un vector, suma vectorilor într-o sumă de vectori și produsul unui număr printr-un vector într-un produs cu același număr de vectorul corespunzător.
Dovada se bazează pe definirea transformării similitudinii, pe formulele care leagă coordonatele aceluiași punct față de două sisteme de coordonate carteziene dreptunghiulare, pe descompunerea vectorului prin baze.
Notă. Cu sistemele de coordonate, Oij și O / i / j / sunt orientate în mod egal și orientate opus.
Definiția. Transformarea similarității planului definit de formulele (1) este numită transformarea de similitudine de primă pentru și transformarea similitudinii de tip 2 pentru.
Din proprietățile de bază ale unei transformări similaritate și aprobarea corectă inverse (dacă este transformarea avionul modifică distanța dintre punctele în același raport egal cu k> 0, atunci este o transformare de similaritate cu scalarea factor k), urmează o transformare diferită definiție similitudine. Definiția. O transformare similară a unui plan cu un coeficient de similaritate k> 0 este o transformare plană care schimbă distanța dintre orice puncte în același raport egal cu k.
Definiția. Homotetul avionului cu centrul de homothety 0 și coeficientul de homothety se numește transformarea planului care atribuie fiecărui punct M al planului punctul M / în conformitate cu legea
Desemnarea. - homotetul avionului cu centrul de homothety 0 și coeficientul homothety k.
Definiția. Homotetice sunt formele și =.
Punctele omotetice ale lui M și M se află pe aceeași linie cu centrul de homothety 0.
Puncte M și M / se află pe o parte a centrului O. dacă k> 0, și - pe de o parte opusă, în cazul în care k<0.
Homotopia avionului este când:
Formule de homothety cu centru la origine:
Dacă centrul homotetei are coordonatele S (x0, y0), atunci formulele homothety cu centrul S au forma:
Dacă introducem notația. atunci obținem formule
Proprietatea principală a omotetei.
Pentru orice puncte M, N și imaginile lor. avem egalitatea:
Dovada. Folosim egalitățile:
O homothety cu un coeficient este o transformare a similitudinii cu un coeficient de similaritate. din moment ce rezultă din proprietatea de bază sau.
dacă k> 0, și. dacă k<0.
Homotetul planului are toate proprietățile de transformare a similitudinii, în special: linia dreaptă are o linie dreaptă, liniile paralele în linii drepte, Schimbă toate distanțele din aceeași relație, păstrează unghiurile.
Proprietățile caracteristice ale homotetei.
Homotetul avionului are un punct fix - centrul de homothety.
Omotetul unui plan deplasează o linie prin centrul homotetei spre sine.
Homotetul planului () mută o linie dreaptă într-o linie paralelă cu ea, astfel încât să nu treacă prin centrul homothety.
Dil plan afișează un cerc al cărui centru coincide cu centrul de dilatare într-un cerc concentric. În acest caz, razele cercurilor sunt legate de relație.
Orice două cercuri inegale sunt homotetice unul cu celălalt, în timp ce în cazul în care cercurile nu sunt concentrice, există două homotheties care harta una de la alta.
Homomirea avionului este transformarea asemănării primului gen.
Teorema. Orice transformare a similitudinii cu coeficientul de similaritate k poate fi reprezentată ca o compoziție de homotet și mișcare.
Grupul de transformări de similitudine și subgrupurile sale
Teorema 1. Setul tuturor transformărilor asemănării unui plan este un grup de transformare, numit grup de similitudine.
Dacă și sunt transformări de similitudine cu coeficienți și. apoi - transformările de similitudine cu un coeficient. Într-adevăr este o transformare plană. Să demonstrăm că pentru oricare două puncte M și N și imaginile lor. Egalitatea este satisfăcută. Noi denotăm prin u. atunci. Prin proprietatea de bază a transformării similitudinii. Prin urmare, compoziția este o transformare a similitudinii.
Să fie transformarea similitudinii unui avion. Deoarece modifică întreaga distanță în relație. atunci transformarea inversă la ea schimbă toate distanțele în relație.
Prin urmare, este o transformare a similitudinii cu un coeficient.
Ambele condiții sunt îndeplinite. Prin urmare, o multitudine de transformări de similaritate este un subgrup al tuturor transformărilor ale planului și, prin urmare, de grup.
Definiția. Setul tuturor cifrelor similare se numește formă.
Teorema 3. Subgrupurile din grupul de asemănări ale unui avion sunt:
Grupul de transformări de similitudine de primul fel;
Grupul de mișcări și toate subgrupele sale;
Grup de homotheties și traduceri paralele;
Un grup de homotheties cu același centru.
Metoda de similaritate
Metoda de similaritate este convenabilă în demonstrarea teoremelor sau în rezolvarea problemelor. Această metodă rezolvă problemele în care sunt date unghiurile, rapoartele segmentelor și numai o condiție dată este legată de dimensiunile liniare ale figurii cerute. Figurile care satisfac toate condițiile problemei, în plus, care este legată de mărimea figurii dorite, sunt similare unul cu celălalt. După ce am construit unul dintre ele și apoi, după ce am selectat corespunzător, coeficientul de similaritate, construim figura dorită.
Teorema. Mediile triunghiului se intersectează într-un punct, fiecare median împărțind acest punct într-un raport de 2: 1 (numărând din partea de sus a triunghiului).
Sarcina. Construiți un triunghi ABC, dacă este dat. raportul dintre laturile AB: BC = m: n (m, n-segmentele de date) și mediana în partea laterală a difuzorului [21].
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: