Fig. 2. Transfer paralel de-a lungul arcului
O reprezentare vizuală a simbolurilor Christoffel poate fi obținută din exemplul unui sistem de coordonate polare. În acest sistem, coordonatele punctului sunt distanța r> de la el la pol și unghiul φ al direcției de la axa polare.
Fie un vector A> cu componente (a. A). în care o are semnificația geometrică a proiecției vectorului A> pentru fascicul radial (trecând prin originea vectorului) și α - unghiul vectorului este văzut din pol. Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, componentele vectorului nu se schimbă în traducere paralelă. În sistemul de coordonate polare, acest lucru nu este cazul (vezi figurile 1 și 2).
Simbolurile lui Christoffel exprimă doar schimbarea componentelor unui vector atunci când este paralel transferat.
Transfer paralel de-a lungul liniilor de coordonate
Când vectorul este deplasat de-a lungul razei radiale cu o distanță d r> r>. componenta sa a. evident, nu se schimbă, dar a doua sa coordonată (α) scade (figura 1). Mărimea vectorului | A | 2 = a 2 + r 2 α 2 = a ^ + r ^ \ alfa ^> rămâne constantă, deci un 2 + (r + dr) 2 (α + d α) 2 = a 2 + r 2 α 2 + (r + > r) ^ (\ alpha +> \ alpha) ^ = a ^ + r ^ \ alpha ^>. Acest lucru este obținut (prin neglijarea valorilor ordinelor a doua și superioare de mărime):
Transfer paralel într-o direcție arbitrară
Pentru o deplasare arbitrară a vectorului (atunci când se schimbă atât r, cât și φ), trebuie să se adauge modificările componentelor:
Expresiile obținute au o structură generală: schimbarea componentelor vectorului este proporțională cu toate componentele vectorului și este proporțională cu magnitudinea schimbării vectorului. Coeficienții de proporționalitate (fără un semn comun minus) sunt numiți simbolurile Christoffel.
Aici simbolurile lui Christoffel Γ 22 1 = - r ^ = - r >>. Γ 12 2 = Γ 21 2 = 1 / r ^ = \ Gamma _ ^ = 1 / r>. și toate celelalte sunt egale cu zero.
Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, toate simbolurile lui Christoffel sunt zero, deoarece componentele vectorului nu se schimbă în traducere paralelă. Din aceasta putem concluziona că simbolurile lui Christoffel nu formează un tensor. dacă tensorul este zero în orice sistem de coordonate, atunci acesta este egal cu zero în toate celelalte sisteme de coordonate.
Simbolurile lui Christoffel de primul și al doilea fel
Exprimarea prin tensorul metric
Simbolurile Christoffel ale legăturii Levi-Civita pentru harta x i> pot fi determinate din absența torsiunii, adică:
Pentru concizie, simbolul nabla ∇ simbolurile și derivatele parțiale sunt adesea omise, în locul lor în fața indicelui pe care diferențierea se pune cu „;“ în cazul covarianței și virgulă „“ în cazul derivatului parțial. Astfel, expresia de mai sus poate fi scrisă și ca:
Explicațiile explicite pentru simbolurile Christoffel de al doilea tip sunt obținute prin adăugarea acestei ecuații și a celorlalte două ecuații, obținute prin permutarea ciclică a indicilor:
unde g i j \ este reprezentarea contravariantă a metricei, care este inversul g i j \>. se găsește prin rezolvarea unui sistem de ecuații liniare g i j g = k k i g _ = \ delta _ ^ \>.
Relația cu denumirile non-index
Formale, non-index definițiile de conectivitate sunt abstracte de la un anumit sistem de coordonate și, prin urmare, sunt mai preferate în dovada de teoreme matematice.
Fie X și Y câmpurile vectoriale cu componentele X i \> și Y k \>. Apoi componenta kth a derivatului covariantic al câmpului Y în raport cu X este dată de
Condiția că nu există o torsiune a conexiunii. ∇ X Y - ∇ Y X = [X.Y] Y- \ nabla _X = [X, Y] \>. este echivalentă cu simetria simbolurilor lui Christoffel cu privire la doi indici inferiori:
În ciuda faptului că simbolurile lui Christoffel sunt scrise în aceeași notație ca și componentele tensorilor. ele nu sunt tensori. deoarece nu se transformă ca tensori în trecerea la un nou sistem de coordonate. În special, alegerea coordonatelor în vecinătatea oricărui punct al simbolurilor Christoffel se poate face la nivel local egal cu zero (de zero sau invers), este imposibil pentru tensorul.
Când se schimbă variabilele (x 1. x n). x ^) \> pe (y 1. y n). y ^). Vectorii de bază sunt transformați covariant,
din care urmează formula de transformare a simbolului Christoffel:
Bara indică sistemul de coordonate y. Astfel, simbolurile Christoffel nu sunt transformate ca un tensor. Ele reprezintă un obiect geometric mai complex în spațiul tangent cu o lege de transformare neliniară de la un sistem de coordonate la altul.
Notă. Se poate vedea, de exemplu, din definiția că primul indice este tensor, adică simbolurile lui Christoffel sunt transformate ca tensori.
Simbolurile lui Christoffel în diferite sisteme de coordonate
Folosind expresia simbolului prin tensorul metric. sau prin transformarea coordonatelor, puteți obține valorile lor în orice sistem de coordonate. În mecanica și fizica sistemele ortogonale de coordonate curbilinii sunt cele mai des folosite. În acest caz, simbolurile Christoffel cu coeficienți egali sunt exprimate în termeni de coeficienți Lame (elementele diagonale ale tensorului metric) H β>. și toate celelalte sunt egale cu zero.
Simbolurile lui Christoffel de primul fel sunt exprimate după cum urmează:
Simbolurile lui Christoffel de al doilea fel:
Valorile pentru sistemele comune de coordonate:
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: