În matematică și fizică, simbolurile lui Christoffel. numiți după Alvin Bruno Christoffel (1829-1900), sunt expresii coordonate ale conexiunii Levi-Civita sau conexiunii afine. Simbolurile Christoffel sunt folosite în geometria diferențială pentru calcule practice ale cantităților geometrice într-un sistem de coordonate dat. Calculele de acest tip sunt, de obicei, foarte greoaie și necesită o atenție excepțională pentru detalii, astfel încât acestea să fie realizate cel mai bine pe un computer folosind pachete de algebră de calculator. Formale, non-index definițiile de conectivitate sunt abstracte de la un anumit sistem de coordonate și, prin urmare, sunt mai preferate în dovada de teoreme matematice.
defini
Simbolurile lui Christoffel pot fi determinate din condiția că derivatul covariantic al tensorului metric este egal cu zero:
Pentru a scurta înregistrarea, simbolul nabla și simbolurile derivatelor parțiale sunt adesea omise, în locul lor, un semicolon ";" în cazul unui covarianță și virgulă "" în cazul unui derivat parțial. Astfel, expresia de mai sus poate fi scrisă și ca
Explicațiile explicite pentru simbolurile Christoffel se obțin prin adăugarea acestei ecuații și a celorlalte două ecuații, obținute prin permutarea ciclică a indicilor:
unde este inversul metric contravariant la. care este definit (prin intermediul deltei Kronecker). În ciuda faptului că simbolurile lui Christoffel sunt scrise în aceeași notație ca tensorii obișnuiți, ei nu sunt tensori, deoarece nu se transformă ca tensori în tranziția la un nou sistem de coordonate.
Conectivitate în desemnările non-index
Fie X și Y câmpuri vectoriale cu componente și. Apoi componenta kth a derivatului covariantic al câmpului Y în raport cu X este dată de
În unele manuale vechi din această expresie scrieți dx în loc de X. Aici și mai jos se folosește regula de sumare Einstein, adică prin indici repetate înțelegem sumare. Convoluția unui tensor cu un tensor metric înseamnă ridicarea / coborârea unui indice:
Este necesar să se țină seama de ceea ce și ce (delta Kronecker). Un tensor metric este de obicei înțeles ca tensorul g i k cu două indici de mai jos (cu indicatori covarianți). Tensor cu doi indici de sus. se găsește rezolvând un sistem de ecuații liniare.
Condiția că nu există o torsiune a conexiunii. este echivalentă cu simetria simbolurilor lui Christoffel cu privire la doi indici inferiori:
Schimbarea coordonatelor
Când se schimbă variabilele. Vectorii de bază sunt transformați covariant,
din care urmează formula de transformare a simbolului Christoffel:
Bara indică sistemul de coordonate y. Astfel, simbolurile Christoffel nu sunt transformate ca un tensor. Ele reprezintă un obiect geometric mai complex în așa-numitul. en: pachet jet cu o lege de transformare neliniare de la un sistem de coordonate la altul.
Vezi de asemenea
Tensorul metric
Articole similare
-
Semnificația cuvântului de captură - definiția cuvântului captura
-
Semnificația cuvântului malitsa - definiția cuvântului malitsa
Trimiteți-le prietenilor: