Pentru fiecare dintre numerele caracteristice n # 955; i (i = 1,2, ..., n) a matricei A (presupunând că acestea sunt diferite) pot fi preparate soluții de [# 955; E-A] x = 0. Aceasta este o ecuație vectorială matrice pot fi reprezentate forma sistemului de ecuații
Vectorii xi. reprezentând soluții ale acestui sistem de ecuații, sunt vectorii caracteristici ai matricei A. Deoarece acest sistem de ecuații este omogen, avem și ki xi. unde ki este o cantitate scalară arbitrară, servește și ca soluție. Prin urmare, acest sistem de ecuații determină în mod unic numai direcția fiecăruia dintre xi.
Matricea formată de vectorii de coloane ki xi. se numește o matrice modală. (Modal - „Modul“ Cuvântul, însemnând „frecvență“, așa-numita „frecvență“, care descrie dinamica unui sistem liniar poate fi exprimat ca componente ale mișcării de-a lungul vectorilor caracteristice).
Pentru numerele caracteristice diferite, coloanele matricei modale pot fi alese egale sau proporționale cu o coloană arbitrară a matricei adiacente Adj [# 955; E-A].
Acest lucru rezultă din faptul că [# 955; E-A] este de rang n - 1. Deoarece determinant | # 955; E-A | = 0 (așa cum am văzut), rangul Adj matricei [# 955; E - A ] trebuie să fie mai mică de n. Cu toate acestea, aceasta nu va fi mai mică de n - 1, deoarece, în acest caz, ar fi zero toate (n - 1) minori rând determinant | # 955; E - A |. care, la rândul său, ar necesita acest lucru
Rezultă că Este o rădăcină multiplă a sistemului original de ecuații, ceea ce contrazice presupunerea că numerele caracteristice sunt diferite. Astfel, matricea [# 955; E - A] are rangul (n - 1). Prin urmare, din definiția matricei adjoint, rezultă că coloanele matricei modale sunt proporționale cu o coloană arbitrară nonzero Adj [# 955; E-A]. Având în vedere dependența liniară a coloanelor Adj [# 955; E-A] pentru o dată Eu sunt alegerea fiecăruia # Definește o singură coloană a matricei modale.
Un exemplu. Găsiți numerele caracteristice și matricea modală corespunzătoare matricei A:
Pentru a găsi o matrice modală, este necesar să înlocuiți valoarea numerelor (caracteristice) corecte în matricea adjoint.
la # 1; 1 = matricea atașată este egală cu
la # 955; 2 = - 2 Matricea atașată este
la # 3; 3 = matricea atașată este
Deoarece vectorii caracteristice determină în mod unic numai direcția, apoi înmulțită cu o cantitate scalară, ei vor satisface de asemenea ecuația
În consecință, matricea modală are forma:
Fiecare coloană a unei matrice modale date servește ca vector caracteristic într-un spațiu vectorial unidimensional. Trei coloane ale matricei modale formează o bază în spațiul vectorial tridimensional corespunzător.
Deasupra matricei modale vizualizate cu numere diferite de A. caracteristice În cazul numerelor multiple caracteristice A și definiție modal nesimetrice coloane independente nu este evidentă, deoarece nu există o corespondență unică între ordinea multiplicității rădăcina ecuației caracteristice, iar defectul corespunzător matricea caracteristică [# 955; E-A] . Cu toate acestea, în acest caz, problema de construcție a matricei modal este rezolvată în mod pozitiv, deși mai dificil.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: