Să presupunem că există două baze în spațiul n-dimensional liniar R n: (vechi) și (nou). Fiecare vector al spațiului Rn poate fi reprezentat ca o combinație liniară a vectorilor de bază. Să presupunem că vectorii sunt exprimați în termeni de vectori de bază folosind formule
numită matricea de tranziție de la baza veche la cea nouă.
Determinantul A este diferit de zero, deoarece altfel, prin Teorema 3.7 rândurile acestei matrici (și, prin urmare, vectorii de bază) ar fi dependentă liniar.
Să demonstrăm că tranziția inversă de la o bază nouă la o bază veche este realizată folosind matricea B, inversul matricei A.
Prin teorema 3.8, matricea B, inversă la matricea A, are forma
unde determinantul matricei A este notat cu și - complementul algebric al elementului matricei A.
Înmulțim ecuațiile (4.1) cu complementele algebrice, ..., ale elementelor din coloana jth a determinantului, respectiv, și apoi adăugăm aceste ecuații. Ca rezultat, obținem (pentru orice număr j egal cu 1,2, ..., n)
Suma produselor elementelor i th coloană la cofactori respective ale elementelor jth coloanei este zero dacă determinant (Teorema 3.5), iar în cazul în care această sumă este extinderea elementelor determinante jth coloana (Teorema 3.4). atunci
Egalitățile (4.3) sunt scrise în formular
Formulele (4.4) arată că tranziția inversă de la o bază la o bază este realizată prin
matrice B = A -1.
Să găsim dependența dintre coordonatele vectorului în diferite baze. Fie x un vector arbitrar al spațiului R n; () Este coordonatele sale pe baza veche, () coordonatele sale în noua bază, astfel încât
În locul vectorilor (4.5), substituind în partea dreaptă expresiile lor determinate prin formulele (4.1), obținem
Din ultima egalitate, datorită unicității expansiunii în ceea ce privește baza, obținem formule pentru trecerea de la coordonate într-o bază nouă la coordonatele vechi:
Ecuațiile (4.6) pot fi reprezentate în formă de matrice
unde A T și (A -1) T sunt matrice transpuse în raport cu matricea A și, respectiv, cu matricea inversă A T.
Un exemplu. Vectorii sunt date în baza ,,, și. Arătați că vectorii formează o bază și exprimă vectorul b în bază.
○ Trei vectori tridimensionali formează o bază dacă sunt liniar independenți. Pentru a demonstra independența liniară a vectorilor, calculăm determinantul compus din coordonatele acestor vectori:
Determinantul nu este egal cu zero, deci vectorii sunt independenți liniar și formează o bază. Exprimăm relația dintre baze:
Matricea de tranziție de la bază la bază are forma
Calculăm matricea inversă A -1 cu formula (4.2) și găsim matricea transpusă (A -1) T:
Acum, folosind formula (4.7), găsim coordonatele vectorului b:
Astfel, coordonatele vectorului b în bază sunt (0.5; 2; -0.5) iar vectorul b poate fi reprezentat ca:
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: