Fie sistemul să fie descris prin ecuații de formă generală (8.3). În aceste ecuații facem schimbarea variabilelor x = Qz. unde este un nou vector de stare, Q este o matrice arbitrară de dimensiune cu coeficienți constanți. Singura restricție impusă matricei Q este aceea că trebuie să fie non-degenerată (nonsingulară); determinant al acestei matrice. În acest caz, există întotdeauna o matrice inversă, pe care o denotăm. astfel încât. unde este matricea de identitate a dimensiunii. Evident, în aceste condiții, există o relație unică între vectorii x și z. . .
În ecuațiile (8.3) facem substituția x = Qz și ținem cont de asta. avem
Ecuațiile (8.8) sunt noi ecuații de stare care au matricea principală a sistemului. intrare și ieșire C Q. Deoarece Q este o matrice arbitrară, numărul nenumarat de ecuații echivalente de stare (8.8) corespund ecuațiilor originale (8.3).
Rețineți că cele două matrice A și. conectate printr-o transformare. sunt numite similare. Matricile similare au aceleași valori proprii.
Folosind o transformare liniară, putem pune problema alegerii în studiul unei forme sau altuia dintre ecuațiile statului. Problema transformării sistemului original (8.3) în forma normală sau canonică a ecuațiilor de stare (8.8) este cel mai adesea rezolvată.
Se demonstrează că pentru o matrice arbitrară A există întotdeauna o matrice pătrată nedegenerată de dimensiune. pe care îl denotăm prin M și numit modal. Astfel că matricea va avea forma Iordaniei. Dacă matricea A are valori diferite (numere). care sunt rădăcinile ecuației caracteristice
atunci matricea va fi diagonală :.
Astfel, este întotdeauna posibilă transformarea unui sistem arbitrar de ecuații (8.3) într-o formă canonică. Problema determinării matricei modale este cel mai simplu rezolvată pentru cazul diferitelor eigenvalue ale matricei A. Noi denotăm prin. Pentru fiecare eigenvalue există un eigenvector din soluția ecuației vector-matrice
Matricea formată de vectorul coloanei. și anume matrice
și este matricea modală dorită.
În conformitate cu (8.9), determinantul sistemului de ecuații liniare (8.10) este zero, adică sistemul are un număr infinit de soluții, fiecare dintre acestea putând fi considerat un vector propriu. Prin urmare, matricea M nu este unică.
În cazul mai multor eigenvalue ale matricei A, problema determinării matricei modale este considerabil mai complicată.
În special, dacă matricea originală A este o matrice Frobenius
specie
și valorile proprii. care sunt rădăcinile ecuației caracteristice
sunt diferite, atunci matricea modal va avea forma
Exemplul 8.3. Lăsați în ACS, care a fost luată în considerare în Exemplele 8.1 și 8.2, cu ,. atunci ecuațiile (8.7) vor avea forma
Transformăm ecuațiile statului în forma canonică. Matricea fundamentală a sistemului A este matricea Frobenius. Vom găsi propriile sale valori din soluția ecuației caracteristice
Rădăcinile ecuației sunt diferite :. . Astfel, în conformitate cu (8.14), definim matricea modală M și inversul ei:
Astfel, ecuațiile de stare (8.15) sunt transformate în forma canonică:
Exemplul 8.4. Fie ca sistemul să fie descris de ecuațiile statului
Rădăcinile ecuației caracteristice vor fi. .
Gasim vectorii proprii din solutia sistemului de ecuatii liniare. .
Punerea. vom avea
Din ultimele două ecuații. de exemplu, setarea, de exemplu. noi primim. Deci, primul eigenvector. În cele din urmă, pentru a determina coordonatele celui de-al doilea eigenvector, obținem. Punerea. va avea și în consecință. Astfel, matricea M poate fi aleasă în formă
În cele din urmă, ecuațiile în formă canonică vor avea următoarea formă:
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: