Secvența converge la în MP (write) dacă
Câteva exemple de spații metrice:
- . Transformarea în MP ar trebui să fie legată de funcționarea dorită a tranziției limită. În cazul unui spațiu dimensional finit, convergența coincide cu convergența coordonată, vrem aceeași pentru convergența infinit-dimensională. Introducem metrica: (modalitatea standard de a transforma intr-un spatiu metric un produs numar de spatii metrice, care este). Verificăm că această valoare satisface axiomele:
- această serie este întotdeauna convergentă, deoarece este majorată de o progresie geometrică descrescătoare, respectiv, distanța este limitată la unitate.
- prima axiomă: non-negativitatea este evidentă, egalitatea metrică la zero în ambele direcții este evidentă
- a doua axie: și mai evidentă
- A treia axiomă urmează cu ușurință următoarea afirmație:
Este necesar să se stabilească echivalența convergenței și convergența ei în sine.
:
Deoarece, și pentru fiecare dintre termenii de pe partea dreaptă tind să, ea converge în sine prin definiție.
:
Să se convertească în sine. Ca și în dovezile anterioare, noi denotăm. Deoarece, ea, de asemenea, converge în sine și în mod coordonat.
Dar, în completare, fiecare dintre secvențele într-o coordonată separată converge :.
Deoarece convergența coordonată a metricei este echivalentă cu simpla convergență, atunci.
Afirmația (compactitatea unui dreptunghi în R ^ infty):
, unde, de asemenea. Astfel, pentru fiecare dintre ele puteți alege numărul de coordonate, astfel încât toate coordonatele cu numere mari să aibă un efect total asupra metricei nu mai mult de.
Să ia în considerare - puteți face o -net finală (desigur, pentru fiecare coordonate pentru a face mai ușor, iar apoi vom lua produsul cartezian) pentru el. Să facem o rețea în următorul mod: la fiecare punct - dimensional de la noi adăugăm coordonate arbitrare.
- Cu opțional.
- Prin definiție, o rețea pentru :.
- Prin construcție și alegere ,.
Și dintr-un anumit motiv, putem lua în considerare un spațiu cu o măsură pe sigma-algebra a unui spațiu de funcții măsurabile asupra funcțiilor reale. Dacă introducem o metrică pe aceasta, atunci convergența unei secvențe de funcții în ea este echivalentă cu convergența în măsură.
[edit] Note
- ↑ Acest lucru este interesant: un spațiu metric este primul numărabilă, și nu poate fi efectuată, care este de înțeles ca se reduce la: De ce nu este prima numărabil?
- ↑ În abstract, numai în direcția directă, dar în general, cum ar fi, acesta este criteriul. Dovada este în Kolmogorov, elementele teoriei funcției și funcan, ediția a 6-a, pagina 107.
[edit] Referințe
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: