Fie ca o secvență de funcții să fie dată. Domeniul de definire al acestei secvențe este setul. Prin această secvență se poate construi o serie. Această serie este numită seria funcțională. Domeniul definiției sale este setul (adică domeniul secvenței funcționale pe care este construit). Oferim conceptul convergenței punctuale a acestei serii.
Definiția 2. O serie se spune că converge la un punct la o sumă dacă există o limită finită la sumele parțiale:
Acordăm atenție faptului că aici numărul depinde nu numai de, ci și de punct. în care se ia în considerare convergența seriei. În cazul în care acest număr nu depinde de seria de date va converge cu suma uniform pe platoul de filmare Să ne dea o definiție strictă a unei astfel de convergență.
Definiția 3. Se spune că o serie se converge la o sumă uniformă pe un set. dacă
Aici încrucișate înseamnă că numărul depinde numai de și nu depinde de puncte (numărul servește toate în același timp!).
Observăm următoarele proprietăți evidente ale seriilor uniform convergente.
3. Dacă seria converge uniform la o sumă dintr-un set. apoi converge uniform pe orice subset
4. Dacă seria și converg uniform (la sumele, respectiv), atunci seria converge uniform, de asemenea, pe platoul de filmare (suma).
5 (criteriul Cauchy pentru convergența uniformă a unei serii). Pentru ca seria să se convertească uniform pe set. Este necesar și suficient
Introducem mai multe concepte. Setul tuturor punctelor în care converge seria, acesta este numit un set de convergență punctuală, și mulțimea tuturor punctelor în care converge set serie modular se numește convergență absolută. Este clar că setul este setul de convergență condiționată a seriei.
De obicei, a examinat prima convergență punctuală, care constituie seria modulară și aplicarea acesteia semne de convergență formulate anterior pentru seria numerică pozitivă (comparație caracteristici Alembert, Cauchy semn integrală), fixarea argumentul mental apoi găsiți regiune de convergență condiționată (caracteristică aici, în general, aplicabilă Leibniz) și, în final, regiunea de convergență uniformă a seriilor funcționale. Se folosește următoarea afirmație.
Criteriul Weierstrass (convergența uniformă a seriei). Să presupunem că pentru o serie funcțională există o serie numerică având următoarele proprietăți:
a) b) seria converge.
Apoi seria converge uniform pe set
(o serie numerică având proprietățile a) și b) se numește seria de majorare a seriei).
Dovada rezultă din inegalitate
Într-adevăr, pentru o serie numerică, criteriul Cauchy al convergenței este valabil,
(nu depinde de pe măsură ce seria este numerică):
Dar apoi din (4) urmează declarația
și anume Pentru seria funcțională este valabil criteriul 5 al convergenței uniforme. În consecință, această serie se converge uniform pe set Teorema este demonstrată.
De exemplu, aplicând criteriul Weierstrass unei serii pe care o avem
Din moment ce seria converge și, prin urmare, seria originală converge uniform pe întreaga axă. Să luăm în considerare încă un exemplu.
Articole similare
-
Zgomote funcționale la copii și adolescenți zgomot aproximativ vârstă caracteristică timp
-
Hyperbilirubinemia - funcțional - - simptome, prognostic, tratament, etiologie - (cauze) și -
Trimiteți-le prietenilor: