Soluția ecuației polinomiale
Ecuația polinomică a gradului doi are forma :.
Pentru a rezolva ecuațiile polinomiale, metoda de selecție a rădăcinilor este cea mai des utilizată, adică selectați intuitiv rădăcina, înlocuiți-o în ecuație și verificați dacă aceasta este egală cu zero.
Dar ghicitul rădăcinilor este destul de dificil. Pentru a simplifica cumva această problemă, vom folosi teoreme fundamentale și "metode dovedite".
Teorema Bezout. Să presupunem că avem un polinom. Apoi restul de împărțire a acestui polinom printr-un binomial liniar este egal cu valoarea polinomului la punct. t. e ..
Corolarul teoremei lui Bezout. Pentru ca un polinom F (x) să fie divizibil de către un rest, este necesar și suficient ca numărul să fie o rădăcină a acestui polinom, adică.
Apoi, pe baza acestei teoreme, putem folosi așa-numita schemă Horner. ceea ce face ușor de împărțit un polinom (polinom) într-un binomial al formei.
Scopul nostru este să găsim un astfel de număr. astfel încât atunci când împărțim polinomul nostru cu restul, acesta este egal cu zero.
Să presupunem că avem un polinom de grad. Apoi, metoda de verificare a rădăcinilor potrivite este următoarea:
Reducem polinomul la forma standard, familiară (dacă nu este dată).
Noi scriem coeficienții în fața necunoscuților în ordinea în care merg și le punem în tabel:
Alegem o rădăcină arbitrară, care se poate dovedi a fi o soluție a ecuației polinomiale. Să presupunem, unde este un număr real. Să verificăm dacă este o soluție a ecuației polinomului inițial.
Să intrăm în rădăcina din stânga mesei:
Primul coeficient este pur și simplu transferat în celula de jos.
Acum, înmulțiți rădăcina cu acest coeficient () și adăugați rezultatul cu următorul coeficient. Numărul rezultat este scris în următoarea celulă inferioară liberă.
Acum, multiplicați rădăcina cu acest număr nou, adăugați rezultatul la următorul coeficient. Numărul rezultat este scris în celula inferioară următoare.
Continuăm aceste acțiuni până când vom completa toate celulele inferioare ale mesei.
Și ultimele două celule vor arăta astfel:
Astfel, în cazul în care numărul (care, de altfel, este reziduul prin divizarea unui polinom pe), care se află în partea de jos a ultimei celule este zero, ipotetic ne satisface rădăcină.
După cum se poate observa din formula din ultima celulă, aceasta este aceeași ecuație ca și în cazul în care am înlocuit numărul. din care rezultă valabilitatea metodei de soluționare cu ajutorul schemei Gorner.
Dacă trebuie să găsim toate rădăcinile unei ecuații polinomiale, atunci vom folosi schema de mai multe ori la rând.
Notă. Teorema privind rădăcinile raționale ale unui polinom. Dacă un polinom în care toți coeficienții sunt numere întregi are o rădăcină rațională a formei. atunci este un divizor al termenului liber. a este un divizor al coeficientului de conducere.
Comoditatea acestei metode constă în faptul că nu este necesar de a construi imediat rădăcină în grade -s, o facem în etape, eliminarea de la sine calculul numerelor „masive“. .
Noi scriem coeficienții în tabel.
Încercăm o rădăcină întregă (de la divizorii termenului liber 8), de exemplu, 1.
Primul coeficient 1 este transportat în celula inferioară.
Multiplicați rădăcina cu primul coeficient, adăugați rezultatul cu al doilea coeficient :.
Efectuând aceleași acțiuni, obținem al doilea coeficient :.
Și așa mai departe, umplem întreaga masă.
În ultima celulă inferioară este zero, deci rădăcina 1 este potrivită.
După ce am găsit prima rădăcină, putem rescrie ecuația inițială după cum urmează:
Rețineți că coeficienții din al doilea bracket sunt numerele rezultate în celulele inferioare ale diagramei de mai sus.
Găsiți rădăcinile rămase ale polinomului (dacă există). Pentru a face acest lucru, găsim rădăcinile acestei a doua categorii. Schema Horner nu se poate rescrie nici măcar și continuă.
Încercați din nou rădăcina 1.
În mod similar, găsim rădăcinile rămase ale ecuației.
Prin urmare, forma finită a ecuației polinomiale arată astfel:
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: