Dacă egalitatea (3.3.3) este adevărată dacă și numai dacă. atunci liniile sunt numite liniar independente. Relația (3.3.2) arată că dacă una dintre linii este exprimată liniar în termenii celorlalte, atunci liniile sunt dependente liniar.
Este ușor să vezi opusul: dacă liniile sunt dependente liniar, atunci există un șir care va fi o combinație liniară a rândurilor rămase.
Fie, de exemplu, în (3.3.3). atunci.
Definiția. Să presupunem că în matricea A există o anumită minoră de ordin r și o ordine minoră (r + 1) a aceleiași matrici conține în întregime un minor în interiorul ei. Vom spune că, în acest caz, minorul îl înfruntă pe minor (sau se îngrămădește).
Acum dovedim o lemă importantă.
Lemma pe părinții minori. Dacă minor al matricei A = r este diferit de zero, și toate mărginesc minori ei sunt zero, atunci orice rând (coloană) a matricei A este o combinație liniară a rândurilor (coloane) componente.
Dovada. Fără pierderea generalității, presupunem că un minor minor de ordin r este în colțul din stânga sus al matricei A =.
Pentru primele rânduri k ale matricei A lemă este evidentă: este suficient pentru a include o combinație liniară același rând cu un factor egal cu unu, iar ceilalți - cu coeficienți egali cu zero.
Acum demonstrăm că rândurile rămase ale lui A sunt exprimate liniar în termenii primelor k rânduri. Pentru a face acest lucru, construim o ordine minore (r + 1) prin adăugarea la minor a rândului k (a) și a coloanei l ():
Minorul rezultat este zero pentru toate k și l. În cazul în care. atunci este egal cu zero ca conținând două coloane identice. În cazul în care. atunci minorul rezultat este un minor fringing și, prin urmare, zero de ipoteza lemmei.
Descompunem minorul prin elementele din coloana a treia:
Expresia (3.3.6) înseamnă că rândul k al matricei A este exprimat liniar în termenii primelor r rânduri.
Deoarece transpunerea matricei nu schimbă valorile minorelor sale (având în vedere proprietatea determinanților), tot ceea ce sa dovedit a fi valabil pentru coloane. Teorema este dovedită.
Corolarul I. Orice rând (coloană) a matricei este o combinație liniară a rândurilor de bază (coloane). De fapt, minorul de bază al matricei este diferit de zero și toți minorii care o înconjoară sunt egali cu zero.
Corolarul II. Un determinant al ordinii n este zero dacă și numai dacă conține rânduri (coloane) dependente liniar. Suficiența dependenței liniare a rândurilor (coloanelor) pentru egalitatea determinantului de zero a fost dovedită mai devreme ca o proprietate a determinanților.
Să dovedim necesitatea. Să presupunem că avem o matrice pătrată de ordinul n, a cărei singură minoritate este zero. Rezultă că rangul acestei matrice este mai mic decât n. și anume există cel puțin o linie, care este o combinație liniară a rândurilor de bază ale acestei matrice.
Să arătăm o altă teoremă despre rangul matricei.
Teorema. Numărul maxim de rânduri liniar independente ale matricei este egal cu numărul maxim al coloanelor sale liniar independente și este egal cu rangul acestei matrice.
Dovada. Fie rangul matricei A = egal r. Apoi, oricare dintre liniile sale de bază k este independentă liniar, altfel minorul de bază ar fi zero. Pe de altă parte, orice r + 1 sau mai multe rânduri sunt dependente liniar. Presupunând contrariul, am putea găsi un ordin minor mai mult decât r. diferit de zero de Corolarul 2 al lemmei precedente. Aceasta din urmă contrazice faptul că ordinea maximă a minorilor, alta decât zero, este egală cu r. Tot ceea ce sa dovedit pentru rânduri este valabil și pentru coloane.
În concluzie, prezentăm încă o metodă pentru a găsi rangul matricei. Rangul matricei poate fi determinat dacă găsim o ordine minore de ordin maxim care este diferită de zero.
La prima vedere, acest lucru necesită calcularea unui număr finit, dar poate foarte mare, de minori din această matrice.
Următoarea teoremă permite, totuși, introducerea în această simplificare semnificativă.
Teorema. Dacă minorul matricei A este nenulos și toți minorii care o înconjoară sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu r.
Dovada. Este suficient să se arate că orice matrice rânduri subsistem când S> r fi ipotezele Teoremei liniar dependent (deci rezultă că r - numărul maxim de rânduri liniar independente în matrice sau oricare dintre minori sale de ordinul k mai mare decât zero).
Să presupunem contrariul. Fie ca rândurile să fie liniar independente. Prin lemma asupra minorilor care se învecinează, fiecare dintre ele va fi exprimată liniar în termeni de rânduri. în care există un minor și care, având în vedere faptul că acestea sunt diferite de zero, sunt independente liniar:
Articole similare
-
Cum să faci și să conduci un kite - e-bibliotecă - descărcare gratuită
-
Teoria fracțiunilor zecimale infinite este conceptul unui număr real
Trimiteți-le prietenilor: