Baza normalizată ortogonală

Am văzut (§12) că pentru fiecare transformare liniară auto-adjunctă există o bază normalizată ortogonală. în care matricea este diagonală. S-ar putea dovedi că pentru mai multe transformări cu auto-adjoint există o bază comună în care matricele tuturor acestor transformări sunt diagonale. Vom afla în ce condiții este posibil acest lucru. [16]

Astfel, pentru ca o transformare să fie auto-aderentă, este necesar și suficient ca matricea ei să fie simetrică într-o bază normalizată ortogonală. [17]

Dacă nu există un subspațiu invariant unidimensional, atunci vom lua un subspațiu bidimensional și vom denumi elt e2 baza normală ortogonală. [18]

Aplicând procesul de ortogonalizare la sistemul complet al elementelor independente liniar obținute în acest fel, construim o bază normalizată ortogonală. [19]

Conceptul de tensor ortogonal afinat, considerat în secțiunile anterioare, este legat de transformarea sistemelor ortogonale de coordonate carteziene și a bazelor normale ortogonale corespunzătoare. [20]

Pentru operatorii liniare auto-adiacente în spațiul euclidian finit-dimensional, se cunoaște teorema privind reducerea matricei unui astfel de operator la o formă diagonală, într-o anumită bază normală ortogonală. În această sub-secțiune extindem această teoremă la operatorii compacți auto-adiacenți într-un spațiu Hilbert. [21]

Să demonstrăm că orice vector este un tensor ortogonal afinat de primul rang. Mai întâi, în fiecare bază normalizată ortogonală et, e2, e3, vectorul x este determinat de un triplet de numere - o triplă coordonate. [22]

Matricea la pentru care se află (7.6) se numește ortogonală. Astfel, matricea tranziției de la o bază normalizată ortogonală la cealaltă este ortogonală. [23]

Scopul acestui paragraf este alegerea în spațiu Rn unei noi baze ortogonale și normalizate și noua origine, astfel încât suprafața comenzii noastre a fost determinată de două unele ecuație specială și deosebit de simplu, care este numit canonic. [24]

Am văzut în 7.33a că într-un spațiu afin, nici baza canonică, nici forma canonică a formei patrate nu este definită în mod unic; în general, a fost posibil să se includă orice vector predefinit în baza canonică a formei. În spațiul euclidian și sub condiția că sunt luate în considerare numai bazele ortogonale și normalizate. situația este diferită. Ideea este că, împreună cu matricea formei patrate, după cum am văzut, se transformă și matricea operatorului liniar simetric corespunzător; dacă se găsește o bază canonică a unei forme patrate, atunci se găsește o bază de la vectorii proprii ai operatorului simetric. Coeficienții formei patratice în baza canonică (coeficienții canonici) coincid cu valorile proprii corespunzătoare ale operatorului. Cu toate acestea, valorile proprii ale lui A sunt rădăcinile det ecuației (A - E). - O, care nu depinde de alegerea bazei și invariant asociat cu operatorul A. Prin urmare, setul de coeficienți de forma canonică (Ax, x este unic determinată [25]

Am văzut în 7.33a că într-un spațiu afin, nici baza canonică, nici forma canonică a formei patrate nu este definită în mod unic; în general, a fost posibil să se includă orice vector predefinit în baza canonică a formei. În spațiul euclidian și sub condiția că sunt luate în considerare numai bazele ortogonale și normalizate. situația este diferită. Ideea este că, împreună cu matricea formei patrate, după cum am văzut, se transformă și matricea operatorului liniar simetric corespunzător; dacă se găsește o bază canonică a unei forme patrate, atunci se găsește o bază de la vectorii proprii ai operatorului simetric. Coeficienții formei patratice în baza canonică (coeficienții canonici) coincid cu valorile proprii corespunzătoare ale operatorului. Dar autovalorile A sunt rădăcinile ecuației (- XE A) - lasa 0, care nu depinde de alegerea bazei și invariant asociat cu operatorul A. Prin urmare, setul de coeficienți de forma canonică (Al, x) este definit în mod unic. [26]

Acest operator este, de asemenea, simetric. Conform teoremei privind operatorul simetric (9.45) în spațiul R există o bază ortogonală și normalizată a vectorilor proprii ai operatorului A. Pe această bază matricea operatorului A este diagonală. Deoarece aceeași matrice este de asemenea o matrice a formei bilinere A (xy), baza construită este baza canonică a formei A (xy), după cum este necesar. [27]

Prin Teorema 9256 matrice a unui operator autoadjunct în orice bază ortogonale și normalizat coincide cu Hermitian sa transpus matrice, cu alte cuvinte, există o matrice simetrică Hermitian. În schimb, fiecare operator A care are o matrice hermitiano-simetrică într-o bază ortogonală și normalizată este un operator de sine stătătoare. [28]

Acest operator este, de asemenea, simetric. Conform teoremei operatorilor simetrice (9,45 R în spațiu și are o bază ortogonală normalizat al vectorilor proprii A. în această bază, matricea A-dia GONAL. Deoarece aceasta este aceeași matrice și forma biliniară matricei A (x, y) construit bază este canonic sub formă de bază A (x y), după cum este necesar. [29]

Matricea fl-ft, ale cărei elemente îndeplinesc condițiile (4) sau, care sunt aceleași condiții (5), se numește matrice unitară. Matricile unitare sunt, după cum am văzut, matrice de transformări unitare într-o bază normală ortogonală. Deoarece trecerea de la unul bază normalizat ortogonale este dată cealaltă transformare unitară, matricea de tranziție de la unul bază normalizat ortogonale alt exemplu este unitar. [30]

Pagini: 1 2 3

Distribuiți acest link:

Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Baza normalizată ortogonală - o enciclopedie mare de petrol și gaze, articol, pagina 2