Funcția continuă este o funcție fără "salturi", adică pentru care mici modificări ale argumentului conduc la mici modificări ale valorii funcției.
ε-δ definiție
x ∈ D. | x - x 0 | <δ ⇒ | f ( x ) − f ( x 0 ) | <ε. |<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_)|<\varepsilon .>
Funcția f este continuă pe setul E. dacă este continuă în fiecare punct al setului dat.
- Definiția continuității repetă definirea limitei unei funcții la un anumit punct. Cu alte cuvinte, funcția f este continuă la punctul x 0>. limită pentru setul D. dacă f are o limită la punctul x 0>. iar această limită coincide cu valoarea funcției f (x 0))>.
- În comparație cu definirea limitei unei funcții Cauchy în definiția continuității, nu există cerința ca toate valorile argumentului x să satisfacă condiția 0 <| x − a | . т.е. быть отличными от а.
- Funcția este continuă într-un punct dacă oscilația ei la un anumit punct este zero.
În cazul în care condiția în definiția de continuitate, la un moment dat este rupt, atunci spunem că funcția respectivă suferă în acest moment decalaj. Cu alte cuvinte, dacă A este valoarea funcției f la punctul a. atunci limita unei astfel de funcții (dacă există) nu coincide cu A. În împrejurimile lingvistice condiția funcției discontinue f la punctul a se obține starea de continuitate negare a funcției la un anumit punct, și anume, există o vecinătate a Af valori ale suprafeței funcției. că indiferent cât de apropiat se apropie punctul a al domeniului de definire a funcției f. Există întotdeauna puncte ale căror imagini sunt în afara cartierului de la punctul A.
Clasificarea punctelor de rupere în R¹
Dacă funcția are o discontinuitate în acest moment (adică, limita funcției în acest moment lipsește sau nu coincide cu valoarea funcției în acel moment), atunci funcțiile numerice există două opțiuni posibile legate de existența unor funcții numerice au limite unilaterale:
- dacă ambele limite unilaterale există și sunt limitate, atunci un astfel de punct este numit punct de discontinuitate de primul tip. La punctele de discontinuitate a primului gen, efectuați discontinuități și salturi amovibile.
- dacă cel puțin una dintre limitele unilaterale nu există sau nu este o cantitate finită, atunci un astfel de punct este numit punct de discontinuitate al celui de-al doilea tip. Polii și punctele de discontinuitate esențială se referă la punctele de discontinuitate ale celui de-al doilea tip.
Punct de rupere de unică folosință
Dacă limita unei funcții există și este finită. dar funcția nu este definită în acest punct sau limita nu coincide cu valoarea funcției la un anumit punct:
Dacă "fixăm" funcția f în punctul unei discontinuități amovibile și punem f (a) = lim x → a f (x) f (x)>. atunci obținem o funcție care este continuă la un moment dat. O astfel de operație pe o funcție este numită o extensie a unei funcții unei funcții continue sau o extensie a unei funcții prin continuitate. care justifică numele punctului, ca puncte ale unui decalaj detașabil.
Punctul de pauză "salt"
Diferența "salt" se produce dacă
Punct de rupere "pol"
Există un decalaj de "pol" dacă una dintre limitele unilaterale este infinită.
Punctul de ruptură semnificativă
La punctul de ruptură semnificativă, una dintre limitele unilaterale este complet absentă.
Clasificarea punctelor singulare izolate în R n. n> 1
Pentru funcții f. R n → R n ^ \ to \ mathbb ^> și f. C → C \ to \ mathbb> nu este nevoie să lucrați cu puncte de pauză, dar de multe ori trebuie să lucrați cu puncte speciale (puncte unde funcția nu este definită). Clasificarea este similară.
- Dacă ∃ lim x → a f (x) f (x)>. atunci acesta este un punct singular detașabil (analog cu o funcție a unui argument real).
- Polul este definit ca lim x → a f (x) = ∞ f (x) = \ infty>. În spațiile multidimensionale, dacă modulul unui număr este în creștere, se presupune că f (x) → ∞. indiferent de cum a crescut. [sursa nu este specificată 504 zile]
- Dacă limita nu există deloc, acesta este un punct special esențial.
Conceptul de "salt" este absent. Ceea ce se spune a fi abrupt în R> este o singularitate esențială în spații de dimensiuni mai mari.
la nivel mondial
- O funcție care este continuă într-un interval (sau orice alt set compact) este uniform continuu pe ea.
- O funcție care este continuă într-un interval (sau orice alt set compact) este limitată și atinge valorile maxime și minime ale acesteia.
- Domeniul funcției f. continuu pe interval [a. b]. este intervalul [min f. max f]. unde se iau minimum și maxim în intervalul [a. b].
- Dacă funcția f este continuă în intervalul [a. b] și f (a) ⋅ f (b) <0. то существует точка ξ ∈ ( a. b ). в которой f ( ξ ) = 0 .
- Dacă funcția f este continuă în intervalul [a. b] și numărul φ satisface inegalitatea f (a) <φ
φ> f (b). atunci există un punct ξ ∈ (a, b). în care f (ξ) = φ. - O mapare continuă a unui segment într-o linie reală este injectabilă dacă și numai dacă funcția dată pe segment este strict monotonă.
- Funcția monotonică pe interval [a. b] este continuă dacă și numai dacă domeniul său de valori este un segment cu capetele f (a) și f (b).
- Dacă funcțiile f și g sunt continue în intervalul [a. b]. unde f (a)
g (b). atunci există un punct ξ ∈ (a, b). în care f (ξ) = g (ξ). Astfel, în special, rezultă că orice hartă continuă a unui interval în ea însăși are cel puțin un punct fix.
Funcții elementare
Funcție cu pauză detașabilă
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: