Teorema Bezout
Atunci când împărțim polinomul f (x) = A0x n + A1x n -1 + # 133; + An la diferența x - a, obținem un rest egal cu f (a).
Dovada. Când împărțirea f (x) la x - un f1 polinom (x) va fi un privat, gradul de care va fi una mai mică decât gradul de f polinomului (x) și un reziduu care este un număr constant: f (x) = (x - a) · f1 (x) + R. Lasand partea dreaptă și stângă a acestei ecuații la x → a. obținem R = f (a).
Dacă x = a - radacina a polinomului, atunci f (a) = 0 și f polinomului (x) este divizibil cu diferența x - iar polinomul este reprezentat ca f (x) = (x - a) · f1 (x), unde f1 (x) este un polinom.
Principala teoremă a algebrei
Fiecare funcție rațională f (x) are cel puțin o rădăcină, reală sau complexă.
Teorema privind extinderea unui polinom în factori liniari
Rădăcinile multiple ale unui polinom
Dacă expansiunea polinomului n - lea factori liniari de gradul f (x) = A0 + (x - a1) + (x - a2) · # 133; + (x - AN), unii factori liniari vor fi egale, ele pot fi combinate , iar apoi factorizarea polinomului va avea forma. Mai mult decât atât, k1 + k2 + # 133; + km = n. În acest caz, rădăcina a1 este numită rădăcina multiplicității k1. rădăcina a2 este numită rădăcina multiplicității k2. și așa mai departe.
Dacă polinomul are o rădăcină a de multiplicitate k. atunci presupunem că polinomul are k rădăcini identice. Fiecare polinom de gradul n are exact n rădăcini (reale sau complexe).
Extinderea polinomului în multiplicatori în cazul rădăcinilor complexe
Dacă polinomul f (x) cu coeficienți reali are o rădăcină complexă a + i · b. atunci are rădăcina conjugată a-i · b. În expansiunea f (x) = A0 + (x - a1) · (x - a2) · Rădăcinile complexe (x - an) introduse introduc perechi de perechi conjugate. Multiplicând factori liniari, corespunzător rădăcini conjugate pereche obține gradul doi trinomial cu coeficienți reali [x - (a + ib)] · [x + (a + ib)] = [(x - a) - ib] · [(x - a + + ib] = (x - a) 2 + b 2 = x 2 - 2 ax + a 2 + b 2 = x 2 + px + q unde p = - 2 · a. q = a² + b² sunt numere reale. Dacă numărul a + i · b este o rădăcină a multiplicității k. atunci numărul conjugat a - i · b trebuie să fie o rădăcină cu aceeași multiplicitate k. Astfel, în plus față de factorul linear x- (a + i · b), expansiunea polinomică conține cât mai mulți factori liniari ai formei x- (a-i · b).
Astfel, un polinom cu coeficienți reali poate fi factorizat în formă. În acest caz k1 + k2 + # 133; + 2s1 + # 133; + 2sm = n.
Descompunerea fracțiilor regulate în fracțiuni simple pentru rădăcini reale
Luați în considerare un factor (x - a) de multiplicitate k. care aparține extinderii numitorului Qn (x) = (x - a) k · Q1 (x) al fracțiunii, (n> m), unde Q1 (x) nu este divizibil cu (x - a). Apoi, această fracție obișnuită poate fi reprezentată ca suma fracțiilor obișnuite. Pentru a dovedi acest lucru, este suficient să alegem un număr A și un polinom P1 (x) astfel încât identitatea Pm (x) - Ak · Q1 (x) = (x - a) · P1 (x). În acest caz, partea stângă a acestei ecuații are o rădăcină egală cu x = a și prin urmare. Din partea rămasă selectăm o fracțiune simplă și așa mai departe, până când factorul (x - a) nu dispare de la expansiunea numitorului. Astfel, în cazul în cauză, grupul de fracțiuni simple k va corespunde factorului (x - a) k. Același argument se aplică la rândul său la fiecare dintre factorii liniari rămași, până când nu există factori liniari în numitor sau numai factorii patrativi rămân în expansiunea sa.
Extinderea fracțiunilor potrivite în cele mai simple în cazul unui factor quadratic în numitor
Fie ca numitorul unei fracții raționale regulate să aibă o rădăcină complexă. Deoarece conjugatul rădăcină este de asemenea rădăcina numitor, numitorul poate fi exprimată ca Q (x) = (x 2 + px + q) m · Q1 (x), unde Q1 (x) nu este divizibil cu x 2 + p · x + q. Apoi, fracția corespunzătoare poate fi reprezentată ca suma fracțiilor obișnuite. Este suficient să se aleagă M și N și R1 polinom (x), astfel încât sa produs identitatea P (x) - (Mx + N) · Q1 (x) = (x 2 + px + q) m · P1 (x). Pentru aceasta este necesar și suficient ca ecuația P (x) - (M · x + N) · Q1 (x) = 0 să aibă rădăcini a ± i · b. așa cum este polinomul x 2 + p · x + q. Prin urmare, P (a + ib) - (M + (a + ib) + N) · Q1 (a + ib) = 0 sau. De aici sau. Pentru aceste valori ale M și N, polinomul P (x) - (M · x + N) · Q1 (x) are rădăcinile a ± i b și se împarte cu x - (a + i b) fără rest și x - a - i · b) și, prin urmare, polinomul x 2 + p · x + q. Gradul de polinom P1 (x) este mai mic decât gradul numitorului, deci putem continua expansiunea ulterioară. Aplicând rezultatele punctelor 6 și 7 ale acestei prelegeri la fracțiunea rațională corectă, se pot identifica succesiv toate fracțiunile cele mai simple care corespund tuturor rădăcinilor numitorului. Astfel, dacă numitorul unei fracții raționale regulate poate fi factorizat, atunci fracțiunea poate fi reprezentată în forma Coeficienți A1. A2, # 133; , B1. B2. ... pot fi determinate din următoarele considerente. Egalitatea scrisă este o identitate. Prin reducerea fracțiunilor la numitorul comun, obținem polinomii identici în numerotatorii din dreapta și din stânga. Ecuația coeficienților pentru aceleași puteri ale lui x. obținem un sistem de ecuații pentru determinarea acestor coeficienți necunoscuți A1. A2, # 133; B1. B2. # 133;. Această metodă de identificare a coeficienților se numește metoda coeficienților nedeterminați.
Exemplu de integrare a fracțiunilor raționale
(rădăcinile numitorului sunt reale și diferite)
Găsiți integritatea nedeterminată. Soluția. Noi descompunem integrarea în cele mai simple fracții raționale. Folosind concluziile teoremei dovedite mai sus, găsim valorile coeficienților nedeterminați ,,. Astfel, integrarea în reprezentarea celor mai simple fracții raționale va avea forma. Și în cele din urmă
Exemplu de integrare a fracțiunilor raționale
(rădăcini numitor sunt reale și multiple)
Găsiți integritatea nedeterminată. Remarcăm, extindem integrarea cu cel mai simplu. Dacă fracțiunile de pe partea dreaptă, duce la un numitor comun, numitorii de pe partea dreaptă și stângă sunt aceleași, atunci, va fi aceeași și numărătorii: x 3 + 6x 2 + 13x + 6 = A · (x + 2) 3 (X + 2) + (x + 2) 2. Două polinoame sunt egale dacă și numai dacă coeficienții lor pentru aceleași puteri ale lui x vor coincide. Ecuația coeficienților pentru aceleași puteri ale lui x. obținem sistemul de ecuații Coeficienții A și B pot fi găsiți fără rezolvarea sistemului:. Din ecuațiile sistemului, avem D = 0, C = 0. Astfel, integrand are o descompunere în acest caz.
Un exemplu de integrare a unei fracții raționale (rădăcinile complexe nu sunt multiple)
Găsiți integritatea nedeterminată. Soluția. Noi descompunem integrarea în cele mai simple. Dacă fracțiunile de pe partea dreaptă, duce la un numitor comun, numitorii de pe partea dreaptă și stângă sunt aceleași, atunci, va fi aceeași și numărătorii: 2x 3 + 3x 2 + 3x + 2 = (Ax + B) · (x 2 + 1) + (Cx + D) · (x2 + x + 1). Eliminăm paranteze în partea dreaptă a acestei ecuații și de grup valori ale puterilor: 2x 3 + 3x 2 + 3x + 2 = (A + C) · x 3 + (B + C + D) x 2 + (A + C + D) x + (B + D). Două polinoame sunt egale dacă și numai dacă coeficienții lor pentru aceleași puteri ale lui x coincid. Ecuația coeficienților pentru aceleași puteri ale lui x. Sistemul de ecuații este o soluție a acestui sistem este A = B = C = D = 1. Astfel, integrand are o descompunere a formei. În cele din urmă, în acest caz, avem
Aplicarea pachetului MAPLE la integrarea fracțiunilor raționale
Întrebări pentru auto-examinare
- Cum poate fi descompusă o fracție rațională în fracțiuni elementare?
- Ce se numește metoda coeficienților nedeterminați?
- Ce funcții generează integrarea fracțiunilor raționale?
- Dați exemple de funcții elementare, ale căror antiderivante nu sunt exprimate în termeni de funcții elementare.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: