Integrarea funcțiilor raționale (fracții raționale)

Fracțiunile raționale elementare (simple) sunt numite fracții raționale de patru tipuri:

Notă (de dorit pentru o înțelegere mai completă a textului): arată / ascunde

De ce avem nevoie de condiția $ p ^ 2-4q <0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q <0$ означает, что $D <0$. Если $D <0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

De exemplu, pentru expresia $ x ^ 2 + 5x + 10 $, primim: $ p ^ 2-4q = 5 ^ 2-4 \ cdot 10 = -15 $. Deoarece $ p ^ 2-4q = -15 <0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

De altfel, pentru acest test nu este necesar ca coeficientul de $ x ^ 2 $ egal cu 1. De exemplu, pentru un $ 5x ^ 2 +-7x 3 = 0 obținem $: $ D = 7 ^ 2-4 \ cdot 5 \ cdot (-3) = 109 $. Din moment ce $ D> 0 $, expresia $ 5x ^ 2 + 7x-3 $ este factorizabilă.

Exemple de fracții raționale (regulate și neregulate), precum și exemple de descompunere a unei fracții raționale în fracțiuni elementare pot fi găsite aici. Aici vom fi interesați doar de problemele legate de integrarea lor. Începem cu integrarea fracțiilor elementare. Deci, fiecare dintre cele patru tipuri de fracțiuni elementare de mai sus este ușor de integrat, folosind formulele enumerate mai jos. Îmi amintesc că atunci când integram fracțiunile de tip (2) și (4), presupunem că $ n = 2,3,4, \ ldots $. Formulele (3) și (4) necesită îndeplinirea condiției $ p ^ 2-4q <0$.

$, atunci integrala rezultată este împărțită în două. Primul va fi calculat cu ajutorul introducerii sub semnul diferențialului, iar al doilea va avea forma $ I_n = \ int \ frac $. Acest integrat este luat folosind relația de recurență

Calculul unui astfel de integral este analizat în exemplul nr. 7 (a se vedea a treia parte).

Schema de calcul a integralelor funcțiilor raționale (fracții raționale):

1. Dacă elementul integrant este elementar, aplicați formulele (1) - (4).
2. Dacă integradul nu este elementar, atunci îl reprezintă ca o sumă de fracțiuni elementare și apoi se integrează folosind formulele (1) - (4).

Algoritmul de integrare a fracțiunilor raționale de mai sus are un avantaj incontestabil - este universal. Ie Folosind acest algoritm se poate integra orice fracțiune rațională. Acesta este motivul pentru care aproape toate schimbarea variabilelor din integralelor nedefinite (substituția Euler, Cebîșev, substituția trigonometrice universale) sunt realizate cu speranța că, după înlocuirea acestuia, pentru a obține o fracție rațională interal. Și deja aplicați algoritmul. Aplicarea directă a acestui algoritm va fi explicată pe exemple, făcând anterior o mică notă.

Formulele (1) - (4) presupun că coeficientul de $ x $ (în formulele (1) și (2)) și coeficientul de $ x ^ 2 $ (în formulele (3) și (4)) este egal cu unitatea. Dar dacă acest coeficient nu este egal cu unul? În acest caz, pur și simplu puneți-l în paranteze: $ \ frac = \ frac \ right)> = \ fracx + \ frac >> $.

De altfel, acest lucru se aplică nu numai fracțiilor elementare. De exemplu, dacă doriți să extindeți fracțiunea $ \ frac $, atunci este reprezentată în acest formular:

În următoarele exemple mă voi referi la cazul în care coeficientul termenului de conducere al polinomului în numitor nu este egal cu $ 1 $. Dar, de fiecare dată, acest caz va fi rezolvat conform schemei standard: pentru a elimina coeficientul "deranjant" de paranteze și a transfera-l la numărător (sau, în general, să-l facă în afara semnului integral).

Să trecem la exemple. Primul exemplu este unul de formare, folosind formulele pentru integrarea fracțiunilor elementare (deocamdată, fără a utiliza formula # 4, aceasta va fi considerată separat).

1) Pentru a gasi intregul $ \ int \ frac $, putem aplica imediat formula (1).

În principiu, acest integral este ușor de obținut fără aplicarea mecanică a formulei (1). Dacă luăm constanta $ 7 $ pentru semnul integral și luăm în considerare faptul că $ dx = d (x + 9) $, atunci primim:

Pentru informații detaliate, vă recomand să examinați subiectul "Integrare prin substituție (inserție sub semnul diferențial)". Explică în detaliu cum sunt rezolvate aceste integrale. Apropo, formula (1) este demonstrată de aceleași transformări care au fost aplicate în acest moment când se rezolvă "manual".

2) Din nou, există două modalități: de a aplica formula gata sau de a face fără ea. Dacă aplicăm formula (2). atunci ar trebui să țineți seama că va trebui eliminat coeficientul înainte de $ x $ (numărul 4). Pentru a face acest lucru, pur și simplu eliminăm aceste patru paranteze:

Acum este momentul să aplicați formula (2):

Se poate face fără aplicarea formulei (2). Și chiar fără a face o constantă de $ 4 $ pentru paranteze. Dacă luăm în considerare faptul că $ dx = \ fracd (4x + 19) $, atunci primim:

3) Trebuie să integrăm fracțiunea $ \ frac $. Această fracție are structura $ \ frac $, unde $ M = 4 $, $ N = 7 $, $ p = 10 $, $ q = 34 $. Cu toate acestea, pentru a verifica dacă aceasta este într-adevăr o fracțiune elementară a celui de-al treilea tip, este necesar să se verifice dacă condiția $ p ^ 2-4q <0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 <0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\fracdx$. Первый путь – банально использовать формулу (3). Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

Vom rezolva același exemplu, dar fără a folosi formula finită. Să încercăm să selectăm derivatul numitorului în numărător. Ce înseamnă asta? Știm că $ (x ^ 2 + 10x + 34) '= 2x + 10 $. Este expresia $ 2x + 10 $ pe care trebuie să o izolăm în numerotator. Până acum, numărătorul conține doar 4x + 7 dolari, dar nu este mult timp. Aplicăm numeratorului o astfel de transformare:

$$ 4x + 7 = 2 \ 2x cdot + 7 = 2 \ cdot (2x + 10-10) + 7 = 2 \ cdot (2x + 10) -2 \ cdot 10 + 7 = 2 \ cdot (2x + 10) -13. $$

Acum, expresia necesară $ 2x + 10 $ apare în numerotator. Și integrarea noastră poate fi rescrisă în această formă:

Am împărțit integramentul în două. Ei bine, în consecință, integrale în sine este, de asemenea, "bifurcate":

Să vorbim mai întâi despre primul integral, adică despre $ \ int \ frac $. Deoarece $ d (x ^ 2 + 10x + 34) = (x ^ 2 + 10x + 34) „dx = (2x + 10) dx $, integrantul în numărătorul fracției este diferențiala numitor. Pe scurt, în loc de expresia $ (2x + 10) dx $, scrieți $ d (x ^ 2 + 10x + 34) $.

Acum spunem câteva cuvinte despre cel de-al doilea integral. Selectăm pătratul total din numitor: $ x ^ 2 + 10x + 34 = (x + 5) ^ 2 + 9 $. În plus, ținem cont de $ dx = d (x + 5) $. Acum, suma integralelor obținute de noi poate fi rescrisă într-o formă oarecum diferită:

Dacă înlocuim $ u = x ^ 2 + 10x + 34 $ în primul integral, acesta ia forma $ \ int \ frac $ și este luat pur și simplu prin aplicarea celei de-a doua formulări din tabelul de integrali nedeterminate. În ceea ce privește al doilea integral, este posibil ca acesta să înlocuiască $ u = x + 5 $, după care ia forma $ \ int \ frac $. Aceasta este cea mai pură formulă a unsprezecea apă din tabelul integralelor nedeterminate. Deci, revenind la suma integrali, avem:

Am primit același răspuns ca la aplicarea formulei (3). care, strict vorbind, nu este surprinzător. În general, formula (3) este dovedită prin aceleași metode pe care le-am folosit pentru a găsi integralul dat. Cred că un cititor atent poate avea o singură întrebare, așa că o voi formula:

Dacă aplicăm cea de-a doua formulă din tabelul integralelor nedefinite la intregul $ \ int \ frac $. atunci primim următoarele:

De ce nu exista un modul în soluție?

Răspunsul la întrebarea №1

Întrebarea este destul de naturală. Modulul a fost absent doar pentru că expresia $ x ^ 2 + 10x + 34 $ pentru orice $ x \ în R $ este mai mare decât zero. Acest lucru este destul de ușor de arătat în mai multe moduri. De exemplu, deoarece $ x ^ 2 + 10x + 34 = (x + 5) ^ 2 + 9 $ și $ (x + 5) ^ 2 ≥ 0 $, atunci $ (x + 5) ^ 2 + 9> 0 $ . Puteți judeca într-un mod diferit, fără a atrage alegerea unui pătrat complet. De la $ 10 ^ 2-4 \ cdot 34 = -16 <0$, то $x^2+10x+34> 0 $ pentru orice $ x \ în R $ (dacă acest lanț logic este surprinzător, te sfătuiesc să te uiți la metoda grafică de rezolvare a inegalităților patratice). În orice caz, din moment ce $ x ^ 2 + 10x + 34> 0 $, atunci $ | x ^ 2 + 10x + 34 | = x ^ 2 + 10x + 34 $; În loc de modul, puteți utiliza paranteze normale.

Toate punctele din exemplul 1 sunt rezolvate, rămâne doar să notăm răspunsul.

Găsiți intregul $ \ int \ fracdx $.

La prima vedere, integrarea lui $ \ frac $ este foarte asemănătoare cu o fracțiune elementară a celui de-al treilea tip; pe $ \ frac $. Se pare că singura diferență este coeficientul $ 3 $ în fața lui $ x ^ 2 $, dar la urma urmei, coeficientul nu poate fi eliminat pentru mult timp (puteți suporta parantezele). Cu toate acestea, această similitudine este evidentă. Pentru fracțiunea $ \ frac $, condiția $ p ^ 2-4q <0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Avem un coeficient în fața lui $ x ^ 2 $ care nu este egal cu unul, așa că verificăm condiția $ p ^ 2-4q <0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D> 0 $, deci expresia $ 3x ^ 2-5x-2 $ poate fi factorizată. Aceasta înseamnă că fracțiunea $ \ frac $ nu este un element al celui de-al treilea tip și nu putem aplica formula (3) pentru $ \ int \ fracdx $ integrală.

Ei bine, dacă fracțiunea rațională dată nu este elementară, atunci ea trebuie reprezentată ca o sumă de fracțiuni elementare și apoi integrată. Pe scurt, traseul trebuie să utilizeze schema de integrare a fracțiunilor raționale. Cum se descompune fracțiunea rațională în elementar este scris aici în detaliu. În primul rând, numim factorul:

Reprezentăm fracțiunea subinterală în următoarea formă:

Acum, descompunem fracțiunea $ \ fracx + 4> \ right) (x-2)> $ în fracțiuni elementare:

Pentru a găsi coeficienții $ A $ și $ B $ există două modalități standard: metoda coeficienților nedefiniți și metoda de substituire a anumitor valori. Aplicăm metoda de înlocuire a valorilor parțiale, înlocuind $ x = 2 $ și apoi $ x = - \ frac $:

Din moment ce se găsesc coeficienții, rămâne doar să se scrie descompunerea finală:

În principiu, puteți lăsa o astfel de înregistrare, dar prefer o versiune mai exactă:

Revenind la integralul original, înlocuim descompunerea rezultată în el. Apoi am împărțit integralele în două, iar la fiecare aplicăm formula (1). Prefer să fac constantele imediat după semnul integrat:

Trebuie să integrăm fracțiunea $ \ frac $. În numărătorul este un polinom de gradul al doilea, iar în numitor există un polinom de gradul al treilea. Deoarece gradul de polinom în numărător este mai mic decât gradul polinomului din numitor, adică $ 2 <3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

Vom trebui doar să distrugem integraleul dat în trei și să aplicăm formula (1) fiecăruia. Prefer să fac constantele imediat după semnul integrat:

Continuarea analizei exemplelor din acest subiect se află în partea a doua.

Articole similare

• Integrarea fracțiunilor

• Integrarea fracțiunilor raționale

• Integrarea celor mai simple fracții raționale

Trimiteți-le prietenilor: