O teorie axiomatică formală este considerată definită dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:
1. Limba teoriei este dată.
2. Se definește conceptul de formulă din această teorie.
116
Curs de cursuri pe logica matematică
3. Un anumit set de formule, numite axiome, este separat.
4. Se determină regulile inferenței în această teorie.
Printre teoriile matematice se disting teoriile de ordinul întâi. Ele diferă de teoriile de ordin superior prin faptul că nu acceptă predicate care au alte predicate și funcții ca valori posibile ale argumentelor lor. În plus, ele nu permit operații cantitative asupra predicatelor sau funcțiilor.
Teoriile primei ordini sunt suficiente pentru expresiile celor mai cunoscute teorii matematice.
În cursul nostru de logică matematică ne limităm la doar teorii matematice de ordinul întâi, uneori numite teorii elementare.
§ 1. Limba de prim ordin
Definiție 1. Un alfabet A este orice set finit de simboluri ne-goale. Simbolurile alfabetului sunt numite litere.
Definiție 2. Un cuvânt dintr-o alfabetă A este orice secvență finită de litere ale alfabetului A. O secvență goală de litere este numită cuvânt gol și este notată cu A.
Vom spune că două cuvinte specifice aha2. an și b, b2. bk alfabetul A sunt egale și scriu axar. an = j2. bh
dacă n = k și a \ =. U2 =?> 2> ··· an - bn · În acest caz, numărul
n este numit lungimea acestui cuvânt.
Fie T o teorie. Noi denotăm prin A (T)
alfabetul acestei teorii. Setul E
seturile de expresii E (T) ale teoriei T sunt numite limba teoriei T.
Limbile de prima ordine servesc teoriile de ordinul întâi. Alfabetul oricărei teorii T a primei ordini include în esență aceleași simboluri care au fost introduse
TEORII MATEMATICE
anterior. Acestea sunt simboluri ale operațiilor logice , v,
simbolurile operațiilor cantitative V, 3; simbolurile auxiliare sunt paranteze, virgule; un set numeric de litere predicate Aj (n, j> l), unde superscriptul
indică numărul de locuri și cel inferior - numărul literei predicate; finit (eventual gol) sau numărare
set de litere funcționale l)
Indicele indică numărul de variabile care intră în funcție, iar cel inferior indică numărul literei funcționale; un set finit (posibil gol) sau numărare de constante obiect af (i> l).
În special, o literă funcțională poate fi înțeleasă ca un lanț de operații logice.
Setul de litere predicate împreună cu un set de litere și constante funcționale se numește semnătura limbii teoriei date și este partea sa specifică.
Astfel, în teoria primei ordini T, unele sau toate literele și constantele funcționale pot lipsi, precum și unele, dar nu toate, literele predicate.
Diferitele teorii ale primei ordini pot fi diferite în compoziția literelor din alfabet.
§ 2. Termeni și formule
O descriere suplimentară a teoriei T necesită, în primul rând, definiții inductive ale termenului și ale formulei. terme
și formulele sunt două clase de cuvinte ale setului E (T).
Definiția unui termen. 1. Variabila subiect și constanta subiectului sunt termeni.
2. Dacă T1, r2. rn sunt termeni și A este un simbol al i-localului
, apoi A-1
3. Nu există alți termeni decât cei definiți la §1.1 și 2. în T.
Conform interpretării naturale, termenul este numele unui obiect. În plus față de variabile și subiect
118
Curs de cursuri pe logica matematică
constantele, termenii sunt lanțuri formate din variabile și constante de subiect prin simboluri de operare, deoarece în interpretarea implicită este interpretată ca valoarea unei anumite funcții.
Definiția formulei. 1. Dacă A este simbolul relației "-dimensionale (predicate sau funcții) și T1, r2. gn -
termeni, atunci A (r \, r2, rn) este o formulă. În special, dacă A =
litera A ", atunci A" (r \, r2, rn) se numește o formulă elementară.
2. Dacă A și B sunt formule, atunci A B, AvB, A -> B și A sunt formule.
3. Dacă A este o formulă și y este o variabilă de obiect care intră în A liber sau nu este cuprinsă în A, atunci
din expresia VyA. ZUA sunt formule. În acest caz, A se numeste intervalul cuantificatorului.
4. Nu există alte formule decât cele definite la §§1-3.
§ 3. Axiomele logice și speciale.
Axiomele teoriei T de ordinul întâi sunt împărțite în două clase: axiome logice și axiome speciale (non-logice sau corecte).
Axiome logice. Indiferent de formulele A, B și C ale teoriei T, următoarele formule sunt axiome logice ale teoriei T.
4) VXiA (Xi) -> A (f), unde A (xj) este formula teoretică T și t este termenul lui T liber în A (Xi). Rețineți că t poate coincide cu x. și apoi ajungem la axioul V ^ A (Xi) A (x;);
Înapoi 33 34 35 36 37 38. 51 >> Următorul
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: