2 Lemma Morse
Acum, vom arăta că în apropierea unui punct critic nondegenerat, funcția poate fi înlocuită de o schimbare a variabilelor în formă simplă. Deoarece acest material nu poate fi considerat ca parte a bagajelor matematice standard ale oamenilor de știință, oferim dovezi detaliate.
LEMMA 4.1. Să fie o funcție netedă în unele cartiere ale originii. Apoi, în unele cartiere (eventual mai mici) de origine există funcții astfel încât
toate buna si
Prin urmare, putem lua
O diferențiere parțială față de k arată acest lucru
Acum putem demonstra lemma Morse (pentru noi aceasta este o teoremă!). (lemma Morse). Fie u un punct critic non-degenerat, cu o funcție netedă. În unele cartiere ale punctului u se poate specifica un sistem local de coordonate care să satisfacă condiția pentru toți
Dovada. Putem transfera începutul, putem presupune că admitem, de asemenea, apoi de Lemma 4.1
în unele cartiere de la zero. Din moment ce zero este un punct critic, avem
Prin urmare, din nou, prin Lemma 4.1, există funcții netede, astfel încât
și puteți scrie
Dacă este înlocuită cu
atunci ecuația (4.1) rămâne adevărată și, în același timp, condiție
De două ori diferențierea parțială a relației
Este nonsingular, deoarece 0 este un punct critic nondegenerat.
Argumentând prin inducție, presupunem că în unele cartiere de origine există coordonate locale astfel încât
unde, dacă este necesar, dacă avem nevoie de o schimbare liniară a ultimelor coordonate (ca în cazul reducerii formei pătrate la forma diagonală din § 5 din Capitolul 2), putem presupune că am stabilit
Prin teorema funcției inverse, o funcție netedă în unele cartiere a originii conținute în (Acesta este motivul principal pentru faptul că lemma Morse este, în general, valabilă numai local). Trecem la coordonate prin înlocuirea
care (din nou prin teorema funcției inverse) este un diffeomorfism local. acum
această formulă este exact asemănătoare cu formula c numai în loc de ea.Cu același fapt, prin inducție, teorema este dovedită.
Această dovadă trebuie comparată cu procedura de reducere a formei patrate la forma diagonală. O funcție a formularului
câți dintre ei. În aplicații, ele sunt mult mai adesea interesate de minimă și de secunde cu mici decât maxima (n-șeile).
Deoarece o șa Morse este, bineînțeles, un punct critic izolat, iar substituțiile netede păstrează proprietatea unui punct critic de a fi izolat, toate punctele critice non-degenerate sunt izolate.
Numărul I este invariant al tipului topologic al unui punct critic în sensul următor: modificările netede inversibile ale coordonatelor nu se schimbă
La punctul critic non-Morosov, matricea Hessei degenerează. Putem măsura cât de degenerat este prin numărarea corancului său (§5, Capitolul 2), ca să spunem așa, numărul de direcții independente de-a lungul cărora acesta degenerează. Acest număr nu se schimbă sub schimbări necorespunzătoare ale coordonatelor și se va ivi în Ch. 7 și 8.
Trimiteți-le prietenilor: