Teoria estimării este o ramură a statisticilor matematice care rezolvă problemele de estimare a parametrilor direct observabili ai semnalelor sau a obiectelor de observare pe baza datelor observabile. Pentru a rezolva problemele de estimare, se aplică o abordare parametrică și neparametrică. Abordarea parametrică este utilizată atunci când modelul matematic al obiectului investigat și natura perturbărilor sunt cunoscute și este necesar doar determinarea parametrilor necunoscuți în el. În acest caz, se folosește metoda celor mai mici pătrate. metoda de probabilitate maximă și metoda momentelor. O abordare nonparametrică este utilizată pentru a studia obiecte de structură necunoscută și cu perturbații necunoscute. Teoria estimării este aplicată în instrumente pentru măsurători fizice și alte, în modelarea proceselor fizice, economice, biologice și altele.
Formularea problemei
Fie datele de observare x = (x 1. x 2. x n), x_. x _)> sunt variabile aleatoare cu o densitate de probabilitate comună P (x | λ). care depinde de parametrii informativi λ 1. λ 2. λ m, \ lambda _. \ lambda _> cu valori necunoscute: P (x | λ) = P (x 1. x 2. x n | λ 1. λ 2. λ m), x_. x_ \ mid \ lambda _, \ lambda _. \ lambda _)>. Problema de estimare constă în găsirea unor estimări ale parametrilor informativi λ, = (λ1 ^, λ2 ^, λm ^)> = (>>, >>. >>)> sub forma funcțiilor care definesc strategiile pentru găsirea estimărilor din observații: λ j ^ = λ j ^ (x). j = 1. 2. m >> = >> (x), j = 1,2. m>.
Abordarea Bayesiană
Parametrii care urmează a fi evaluați sunt variabile aleatoare cu o densitate de probabilitate a priori cunoscută anterior cunoscută z (λ). Pentru a minimiza erorile de estimare, introducem funcția de pierdere g (λ ^, λ)>, \ lambda)>. care depinde de estimările λ ^ >> și de valorile adevărate ale parametrilor estimați. În acest caz, obiectivul este de a minimiza așteptările matematice ale funcției de pierdere - riscul mediu: R (λ ^) = ∫g (λ ^.) Φ (λ ^ x) >) = \ int g (>, \ lambda) \ varphi (> \ mid x) P (x \ mid \ lambda) z (\ lambda) dxd \ lambda d >> [1]. Aici, φ (λ ^ | x)> \ mid x)> este densitatea de probabilitate condiționată a deciziei de a estima λ ^ >> pentru datele observaționale x.
În acest caz, clasa distribuțiilor de probabilități nu poate fi descrisă cu ajutorul unui număr finit de parametri. În acest caz, estimările optime sunt definite ca funcționale ale distribuției de probabilitate a observației [2].
- În radar, pentru a determina distanța față de obiect, este necesar să se estimeze intervalul de timp dintre transmisia și recepția semnalului radar reflectat din obiectul de observație. În acest caz, parametrii informativi sunt amplitudinea, frecvența, trecerea de timp în raport cu momentul de timp selectat. Este de dorit să estimați acești parametri cu o eroare minimă.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: