Legile de distribuție a variabilelor aleatorii discrete.
Printre legile pentru variabilele aleatoare discrete, cea mai comună este distribuția binomială.
Să presupunem că c. în. X este numărul de apariții a evenimentului A în studiile identice care sunt independente de evenimentul A. Să presupunem că probabilitatea apariției evenimentului A în fiecare test este constantă și egală cu p (A) = p, (0
Aici: X = m = 0; 1; 2; ...; n - valori posibile care compun PGNS. În acest caz, se aplică următoarea relație:
Să găsim expresia așteptărilor matematice ale distribuției binomiale.
Luați în considerare descompunerea binomului lui Newton:
Diferențăm cu privire la p ultima egalitate:
Noi multiplicăm ambele părți ale egalității cu p:
deoarece (p + q) n -1 = 1, obținem formula:
În mod similar, obținem o expresie pentru varianța distribuției binomiale. Prin a doua formulă pentru varianță, putem scrie:
Diferențiezăm din nou p-descompunerea binomului lui Newton în p:
Noi multiplicăm ambele părți ale ultimei egalități cu p 2. Având în vedere că (p + q) = 1, obținem:
Din acest motiv, având în vedere faptul că (1 - p) = q, iar pentru distribuția binomică M (X) = np, avem:
Cel mai probabil număr de apariție a evenimentului A (modul de BHP) este determinat de dubla inegalitate:
Un exemplu. Variabila aleatoare X este numărul de piese defecte din eșantionul de
n = 50 de bucăți. Probabilitatea pentru fiecare parte este p = 0,06. Găsiți M (X), D (X), (X), M0 numărul de piese defecte.
2. Distribuția Poisson.
Distribuția Poisson poate fi considerată ca fiind un caz limitativ al unei distribuții binomiale, atunci când numărul de încercări n tinde spre infinit cu tendința simultană la zero a probabilității evenimentului așteptat în test.
Sarcina. Lăsați punctele incidente pe axa OX să cadă aleatoriu. Permiteți repartizarea aleatorie a punctelor pe această axă să satisfacă trei condiții:
1. Probabilitatea de puncte lovind K bucăți intervalul de lungime finită L depinde de numărul și lungimea K etotgo interval, cu această probabilitate este proporțională cu lungimea acestui interval și nu depinde de poziția sa pe axa x;
2. Punctele cad pe axa în mod independent unul de altul, probabilitatea ca fiecare punct să coboare până la o lungime finită a segmentului nu depinde de locul în care celelalte puncte au căzut;
3. Probabilitatea de a cădea pe o mică tăiere elementară de două sau mai multe puncte este neglijabilă, cu probabilitatea ca un punct să cadă pe ea.
Găsiți probabilitatea ca exact punctele m să cadă în segmentul axei OX cu lungimea L.
O variabilă aleatoare X este numărul de puncte care intră pe segmentul L al axei OX. Valorile sale posibile sunt: 0; 1; 2; ...; m; ... - numărul poate fi disproporționat de mare.
Reducem problema la schema în care se aplică formula Bernoulli.
Împărțim segmentul L în n părți egale de lungime:
Pe segmentul elementar, prin condiția 3, poate cădea un singur punct.
Fie ca probabilitatea lovitului unui punct pe un segment elementar să fie egală cu: (condiția 1), apoi - probabilitatea de a nu cădea un punct.
Aici: - coeficientul de proporționalitate.
Lovitura sau pierderea unui punct în fiecare segment elementar este rezultatul a n testelor independente. Probabilitatea ca una dintre tăieturile elementare n în numărul m de tăieturi să cadă într-un punct este calculată prin formula Bernoulli:
Semnul egalității aproximative se datorează faptului că mai mult de un punct poate cădea pe segment. Pentru a exclude această posibilitate, trebuie să procedăm, în conformitate cu condiția 3, cu limita pentru, cu, și.
Aici: - Formula lui Poisson.
Să determinăm caracteristicile numerice ale distribuției Poisson.
Așteptarea distribuției Poisson este: de aici puteți da o interpretare fizică a problemei în cauză parametru - este densitatea numărul mediu de puncte (numărul mediu de puncte care se încadrează pe o unitate de lungime a axa x). În formă abstractă - numărul mediu de evenimente pe unitate de măsură paprametra fizică continuă (acest lucru poate fi de lungime, timp, concentrare, etc ...).
Varianța distribuției Poisson este: (fără ieșire). Astfel, unul dintre semnele în prezența unei distribuții Poisson este egalitatea:
Să găsim așteptările matematice ale numărului de apeluri pe minut. Densitatea apelului minut este: Apoi așteptarea matematică este valoarea: Probabilitatea necesară este:
Distribuția Poisson poate fi folosită ca o aproximare pentru cazul distribuției binomiale, dacă aceasta are, care poate fi foarte mică și mare. În aceste cazuri, în formula lui Poisson, așteptarea matematică a distribuției Poisson este înlocuită de așteptarea matematică pentru distribuția binomică. Numărul evenimentelor așteptate nu ar trebui să fie mare.
Un exemplu. Fabrica a înmânat peste 500 de sticle de vodcă la bază. Probabilitatea ruperii în timpul transportului pentru fiecare sticlă este 0,002. Care este probabilitatea ca trei sticle sparte să ajungă la bază.
În această problemă, legea exactă distribuție - binomială, dar Bernoulli formula porakticheski nu se aplică datorită numărului mare de n = 500. Cu toate acestea, rețineți că dispersia este aproape numeric la această valoare :. Numărul este mic, deci folosim formula Poisson pentru a rezolva problema:
Un exemplu. Probabilitatea producerii unei părți nestandard este p = 0,004. Găsiți probabilitatea ca între 1000 de părți 5 să nu fie standard.
Dacă luăm în considerare această variantă prin formula Bernoulli, ajungem;
În cazurile în care n și m sunt numere mari și formulele Bernoulli și Poisson nu sunt aplicabile, utilizați formula Laplace locală aproximativă:
Aici: - funcția standard de probabilitate (funcția Gaussiană), tabelată (tabelul 1 al cererii), graficul său este prezentat mai jos, vezi Fig. 6. Prin formula locală Laplace pentru ultimul exemplu, obținem :. (Diferența este semnificativă).
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: