Teoria Wiki teoretice

Sistemul formal (teoria formală, teoria axiomatică, axiomatica, sistemul deductiv) este rezultatul unei formalizări stricte a teoriei. care implică o abstractizare completă din sensul cuvintelor limbajului folosit și toate condițiile care guvernează utilizarea acestor cuvinte în teorie sunt exprimate explicit prin axiome și reguli care permit o frază să fie derivată de la alții.

Un sistem formal este o colecție de obiecte abstracte care nu sunt legate de lumea exterioară, în care sunt prezentate reguli de operare a unui set de simboluri într-o interpretare strict sintactică, fără a lua în considerare conținutul semantic, adică semantica. Sistemele formale descrise strict au apărut după ce problema lui Hilbert a fost pusă. Primul FS a apărut după eliberarea cărților de către Russell și Whitehead "Formal Systems" [de clarificat]. Acest FS a fost prezentat cu anumite cerințe.

Dispoziții de bază [ ]

O teorie formală este considerată definită dacă [2]:

Se specifică un set de simboluri arbitrare arbitrare. Secvențele finite ale simbolurilor sunt numite expresii ale teoriei.
Există un subset de expresii numite formule.
Un subgrup de formule, numite axiome, este separat.
Există un set finit de relații între formule, numite reguli de inferență.

De obicei, există o procedură eficientă care ne permite să determinăm prin această expresie dacă este o formulă. Adesea, un set de formule este dat de o definiție inductivă. Ca regulă, acest set este infinit. Setul de simboluri și setul de formule din agregat determină limba sau semnătura teoriei formale.

Pentru fiecare regulă de derivare R și pentru fiecare formulă A, se rezolvă în mod eficient dacă setul de formule ales este în relație cu R cu formula A. și dacă este așa, atunci A este numit consecința imediată a acestor formule prin regula R.

O derivare este orice secvență de formule, astfel încât fiecare formulă a unei secvențe este fie o axiomă, fie o consecință imediată a unei formule anterioare printr-una din regulile de inferență.

O formulă se numește o teoremă. dacă există o concluzie în care această formulă este ultima.

O teorie pentru care există un algoritm eficient care permite să recunoaștem prin această formulă dacă există concluzia sa este numită solvabilă; în caz contrar, teoria se numește nedefinită.

O teorie în care nu toate teoremele sunt formule sunt numite absolut consecvente.

Definiție și varietăți [ ]

Teoria deductivă este considerată dată dacă:

Se specifică alfabetul (setul) și regulile pentru formarea expresiilor (cuvintelor) din acest alfabet.
Sunt date regulile pentru formarea formulelor (construite corect, expresii corecte).
Din setul de formule, un subset de teoreme T (formule demonstrabile) se deosebește într-un fel.

Soiuri de teorii deductive [ ]

În funcție de metoda de construire a setului de teoreme:

Alocarea axiomelor și a regulilor de inferență [ ]

În setul de formule alocate axiome subset și este dată de un număr finit de reguli de inferență - astfel de reguli prin care (și numai folosindu-le) din axiome anterior teoreme pot fi derivate formă nouă teoremă. Toate axiomele sunt, de asemenea, printre teoreme. Uneori (de exemplu, în axiomatica lui Peano), teoria conține un număr infinit de axiome, date de unul sau mai multe scheme de axiom. Axiomele sunt uneori numite "definiții ascunse". În acest fel este definită o teorie formală (teoria axiomatică formală, calculul formal (logic)).

Numirea numai axiome [ ]

Numai axiomele sunt specificate, regulile de deducție sunt, în general, cunoscute.

Exemple [ ]

Specificarea numai a regulilor de ieșire [ ]

Nu există nici o axiomă (setul de axiome este gol), sunt date numai regulile de inferență.

De fapt, teoria dată în acest fel este un caz special de unul formal, dar are propriul său nume: teoria inferenței naturale.

Proprietățile teoriilor deductive [ ]

Consistența [ ]

O teorie în care un set de teoreme acoperă întregul set de formule (toate formulele sunt teoreme, "declarații adevărate") se numește contradictoriu. În caz contrar, teoria este numită consecventă. Elucidarea naturii contradictorii a teoriei este una dintre cele mai importante și uneori mai complexe sarcini ale logicii formale. După clarificarea inconsecvenței, teoria, ca regulă, nu mai are o aplicație teoretică sau practică.

Completitudine [ ]

Teoria este numită completă. dacă în ea pentru orice propoziție (formula închisă) F sau F în sine este derivabilă. sau negarea lui # x00AC; F. În caz contrar, teoria conține declarații nedovedite (afirmații care nu pot fi nici dovedite, nici dezamăgite de teoria însăși) și se numește incompletă.

Independența axiomelor [ ]

O axiomă separată a teoriei este considerată independentă. Dacă această axiomă nu poate fi derivată din axiomele rămase. Axiomul dependent este în esență redundant, iar scoaterea lui din sistemul axiomului nu afectează teoria în nici un fel. Întregul sistem de axiome al teoriei este numit independent. dacă fiecare axiom din el este independent.

Solvabilitate [ ]

Teoria se numește rezolvabilă. Dacă conceptul teoremei este eficient în ea. adică există un proces eficient (algoritm) care permite oricărei formule într-un număr finit de pași pentru a determina dacă este sau nu o teoremă.

Cele mai importante rezultate [ ]

În anii '30. Secolul XX Kurt Gödel a arătat că există o întreagă clasă de teorii de ordinul întâi, care sunt incomplete. Mai mult, formula care afirmă coerența teoriei nu este, de asemenea, derivabilă prin intermediul teoriei în sine (a se vedea teoriile incompletenței lui Gödel). Această concluzie a fost de mare importanță pentru matematică, deoarece aritmetica formală (și, de asemenea, orice teorie care o conține subteor) este doar o astfel de teorie a primei ordini și, prin urmare, este incompletă.
În ciuda acestui fapt, teoria câmpurilor reale închise cu completare, multiplicare și relație de ordine este completă (teorema lui Tarski-Seidenberg).
Autorul dovedește că nu există niciun algoritm care, pentru nici o formulă de logică predicată, stabilește dacă formula este logic validă sau nu.
Calculul pronunțărilor este o teorie consistentă, completă și solvabilă.