eroare interpolarea funcția estimare f (x) este n diferențiabilă + 1 ori intervalul [a, b], care conține xi puncte de interpolare (i = 0,1, n) este realizată în mod convenabil folosind expresia:
ca o consecință a teoremei de eroare
Atragem atenția asupra uneia dintre problemele de interpolare asociate cu construcția de reprezentare Rn. Să presupunem că aveți nevoie pentru a efectua funcții de interpolare, în toate punctele de intervalul [a, b]. Eroarea depinde de alegerea xi sale componente. x și proprietăți ale funcției f. Dacă interpolat o funcție specifică f, precizia de interpolare se caracterizează prin max½Rn (x) ½. Când nu interpola o funcție f, în timp ce un set de funcții f, atunci precizia poate fi estimată ca sup max½Rn (x) = ½ m = m (x0, x1, ..., xn). (13)
Această valoare depinde numai de alegerea nodurilor xi (i = 0,1, ..., n).
Noi punem problema selectarii nodurilor xi. care ar putea fi considerată cea mai bună pentru interpolarea tuturor funcțiilor f pe [a, b] din setul luat. Este normal să considerăm nodurile ca cele pentru care valoarea m (x0, x1, ..., xn) atinge cea mai mică valoare. Gasim astfel de noduri pentru setul tuturor functiilor cu un derivat continuu de ordin n + 1 pe [a, b]. Să ne schimbăm temporar această problemă și să luăm în considerare funcțiile f pentru care pentru unii arbitrar luați pozitiv M inegalitatea
½f (n + 1) (x) 1/2 M. (14)
Pentru astfel de funcții, eroarea Rn (x) poate fi estimată prin următoarea inegalitate, care rezultă imediat din (11):
max1Rn (x) 1E [M / (n + 1)] max1w (x) -1.
Această estimare nu este îmbunătățită, deoarece egalitatea deține în ea, când f este următorul polinom de grad n + 1:
Supra max ½Rn (x) 1 = [M / (n + 1)!] max1w (x) 1. (15)
Primul factor din partea dreaptă a (15) nu depinde de alegerea nodurilor xi. și prin urmare cele mai bune noduri pentru funcțiile de interpolare f (14) sunt acele xi. pentru care
Această concluzie este valabilă pentru orice M din (14). Prin urmare, putem argumenta că astfel de noduri vor fi cele mai bune pentru interpolarea oricăror funcții f cu un derivat continuu de ordin n + 1 pe [a, b].
Trimiteți-le prietenilor: