Alegerea unui anumit set de bunuri de către consumator depinde în parte de gusturile sale. Acestea se caracterizează printr-o atitudine de preferință slabă sau printr-o preferință slabă: "preferabilă" sau "echivalentă", care este descrisă în continuare ca "".
unde x și y sunt seturi de mărfuri (puncte de spațiu C), înseamnă că consumatorul în cauză fie preferă setul x la setul y. sau nu face o diferență între ele: x cel puțin la fel de bine ca u.
Definim acum conceptul de indiferență. Seturile de produse x și y sunt indiferente față de consumator (x
y) dacă și numai dacă fiecare este preferabil sau indiferent față de celălalt, adică,
y dacă și numai dacă xy și y x (2.3)
Consumatorul preferă un set x la un set y (x y) dacă și numai dacă x este preferabil sau indiferent față de y și y nu este preferabil sau indiferent x:
x y. dacă și numai dacă xy, iar relația yx este falsă (2.4)
Raportul în spațiul bunurilor se numește perfect. dacă pentru orice seturi de mărfuri x și y din C avem:
Relația (2.5) înseamnă că nu există "goluri" în C, în care nu există preferințe.
Se consideră că o relație este tranzitivă (semi-ordonată) dacă, pentru orice trei seturi x, y și z din C, se aplică următoarea condiție:
Relația se numește reflexivă. dacă x.
Raportul este numit simetric. dacă xy implică yx.
Să luăm în considerare două axiome de bază despre relația slabă a preferințelor.
Axiom 1. O relație de preferință slabă este semi-ordonarea perfectă a spațiului de mărfuri C.
Axiomul afirmă că pentru arbitrii x și y în C, formulele (2.5), (2.6) sunt valide. Din axiomul 1 se pot obține următoarele proprietăți ale relațiilor de echivalență. Acest raport:
· Este tranzit: dacă x
x (orice set de produse este echivalent cu el însuși)
Relația de indiferență împarte spațiul bunurilor C în clase de echivalență, numite seturi de indiferență, fiecare din ele constituind din toate colecțiile indiferente față de setul dat x.
Cele de mai sus pot fi scrise astfel: setul de indiferență pentru produsul x:
Introducem noțiunea de seturi preferate și non-preferate.
Un set preferat este un set format din seturi de mărfuri care sunt preferate sau indiferente față de un set dat de x.
Un set irelevant este un set care constă din seturile de bunuri pentru care x este preferabil sau indiferent:
Axiom 2. Atitudinea slabă a preferinței continuu.
Conform axei 2, relația de preferință este continuă, adică Seturile preferate și seturile non-preferate sunt seturi închise în spațiul C. să conțină punctele lor limită. și
Formula (2.10) înseamnă intersecția setului de preferințe cu setul de non-preferințe.
Dintre cele două axiome de bază ale semi-ordinii și continuității perfecte, rezultă că există o funcție continuă a vectorului de produs x. pe care o denotăm. O funcție este numită funcție utilitară. Pentru ea este corect:
u (x) u (y). Numai dacă (2.11)
Presupunem că u (x) este diferențiabil și astfel încât gradientul u (x) este pozitiv:
Relația (2.12) înseamnă că toate derivatele parțiale, i =, i. cu creșterea numărului de bunuri, funcția de utilitate crește.
Derivații parțiali ,, se numesc utilități marginale.
Apoi, ia în considerare axioma convexității stricte. Fie x și y seturi distincte de produse în C. Apoi, atunci
În conformitate cu (2.8) și (2.13)
În Fig. 2.1 prezintă o varietate de preferințe care satisfac această axie pentru n = 1, respectiv 2.
Figura 2.1. Punctul 1 este definit de expresia, punctul 2 de expresie
În Figura 2.1, limita unui set este un set de indiferență, care este o curbă de indiferență. După cum se poate vedea din figura 2.1, setul este strict convex. Apoi se poate demonstra că setul
Este, de asemenea, convex pentru orice a real.
Luați în considerare, de exemplu, Fig. 2.2. Se arată pentru setul (spațiu de mărfuri - unidimensional), care este partea umbrită a axei numerice (axa -ax). Este evident din figura 2.2 că setul este convex pentru orice a.
Pentru a ilustra forma setului în cazul bidimensional (dimensiunea spațiului bunurilor), avem nevoie de conceptul unei linii cu un nivel egal al unei funcții cu un număr de variabile mai mari decât unul.
Vom diseca această funcție cu planuri paralele cu planul coordonatelor. Proiectăm liniile de intersecție a funcției cu planurile pe planul de coordonate, vezi Fig. 2.2.
Aceste proiecții se găsesc prin linii de nivel egal. Pe fiecare astfel de linie, valoarea funcției utilitare este aceeași. În Fig. 2.3 prezintă curbele pentru valori.
Curba de indiferență este o linie de nivel egal pentru funcție. Fără pierderea generalității, vom presupune că, în cazul în care valoarea apare în formula (2.14). Prin proprietatea convexității stricte, se manifestă următoarele inegalități. Setul este umbrit în Fig. 2.3. zona. După cum puteți vedea, această zonă este convexă.
Să presupunem că o funcție de două ori continuu diferențiată și matricea derivatelor sale secundare (matricea Hesse) este definitivă negativă. Aceasta înseamnă că pentru orice vector dimensional non-zero urmărește următoarea inegalitate :. O matrice negativă definită este deseori desemnată ca :. În cazul nostru, matricea Hesse are forma:
Matricea H este simetrică. Definitivitatea negativă a matricei H împreună cu condiția (2.14) înseamnă. acea funcție strict concavă. Rezultă că elementele de pe diagonala principală sunt negative, adică
Rezultă din (2.15) că rata de schimbare a primului derivat, utilitatea marginală, este negativă. Astfel, formula (2.15) înseamnă că utilitatea marginală a oricărui produs scade în timp ce este consumată. Presupunerea că matricea este definitivă negativă, ceea ce implică (2.15), se numește legea lui Gossen.
Exemple de funcții de utilitate.
unde - vectorul transpus, - valorile date.
2) Logaritmic (Bernoulli):
unde sunt date valorile.
3) Elasticitatea constantă:
,> 0, 0 <<1,>> 0 ,.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: