Secțiunea 4. Determinanți.
Permutările unui set finit de elemente.
Luați în considerare un set finit constând din elemente n.
Definiție 1. Numerele de localizare S într-o anumită ordine numită o permutare de n numere și notate .Prin denotă numărul de permutări ale S.
Un exemplu. Pentru set, vom scrie setul de toate permutations:
Numărul tuturor permutărilor acestui set.
Teorema. Numărul de permutări ale setului este. și anume .
Dovada. Forma generală a permutării setului S sub forma:
unde fiecare este unul dintre numere. în plus, nici unul dintre aceste numere nu apare de două ori în expresia (*).
Ca primul element, se poate lua oricare dintre numere. Acest lucru dă n diferite permutări. În locul elementului, puteți lua doar unul din numerele rămase. În consecință, numărul de moduri diferite de alegere este egal cu produsul. Continuând, puteți alege unul dintre numerele rămase și așa mai departe. Rezumând, ajungem la concluzia că numărul de permutări ale setului este egal cu.
Un exemplu. Arătăm că numărul de permutări ale setului este egal cu.
2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3
3 4 2 4 2 3 3 4 4 1 1 3 2 4 1 4 1 2 2 3 1 3 1 2
4 3 4 2 3 2 4 3 1 4 3 1 4 2 4 1 2 1 3 2 3 1 2 1
Definiția 2. Dacă în permutație sunt schimbate oricare două simboluri și toate celelalte rămân în loc, obținem o nouă permutare. Această operațiune se numește transpunere.
Aprobarea. Din orice permutare a mulțimii S se poate trece la orice altă permutare a acestui set prin intermediul mai multor transpoziții.
Un exemplu. Lasă-l să fie. Arătăm cum, prin intermediul mai multor transpoziții, se poate obține o permutare din permutare:
Definiția 3. Se spune că într-o permutare o pereche de numere formează și o inversiune, dacă pentru. și anume Un număr cu o valoare mai mare este mai devreme.
Un exemplu. Câte inversiuni sunt în permutare. Permutare are o inversare (32), (31), (85), (82), (84), (86), (87), (81), (52), (54), (51), (21 ), (41), (61), (71). Doar 15 inversiuni.
Dacă numărul de inversiuni în permutare este notat. apoi pentru exemplul anterior, puteți scrie.
Definiția 4. Se spune că o permutare este egală. dacă simbolurile sale fac un număr par de inversiuni și ciudat - altfel.
Aprobarea. Orice transpunere modifică paritatea permutării.
Un exemplu. Luați în considerare o permutare a 5 elemente. Această permutare are trei inversiuni (32), (52), (54), adică . prin urmare, permutarea este ciudată.
Să schimbăm al doilea și al cincilea element. obținem o nouă permutare. Această permutare are patru inversiuni (42), (43), (52), (53), adică . prin urmare, permutarea este uniformă.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: