Se spune că o variabilă aleatorie continuă este distribuită în conformitate cu legea normală. dacă densitatea distribuției are forma:
Un grafic al densității unei distribuții normale se numește o curbă normală (curba Gaussiană). Să investigăm funcția (24.1).
1) Domeniul de definire a acestei funcții: (-∞, + ∞).
2) f (x)> 0 pentru orice x (deci întregul grafic este situat deasupra axei Ox).
3) care este, Axa Ox servește ca asimptote orizontale a graficului pentru
4) pentru x = a; pentru x> a. la x 5) F (x - a) = f (a - x), adică graficul este simetric față de linia dreaptă x = a. 6) când. adică punctele sunt puncte de inflexiune. Pentru a calcula așteptările matematice ale unei variabile aleatorii distribuite normal, folosim faptul că integratul Poisson. (primul termen este egal cu 0, deoarece integrand este ciudat, iar limitele de integrare sunt simetrice în raport cu zero). În consecință, parametrii distribuției normale (a și # 963; ) sunt egale cu așteptarea matematică și deviația medie pătrată a variabilei aleatorii date, respectiv. O imagine aproximativă a curbelor Gaussian pentru diferite valori ale parametrilor este prezentată în figură
Să găsim forma funcției de distribuție pentru legea obișnuită:
Integralul din (24.2) nu poate fi exprimat prin funcțiile elementare. Prin urmare, pentru a calcula valorile lui F (x) trebuie să folosim tabele. Acestea sunt scrise pentru cazul în care a = 0, și # 963; = 1 (distribuție normalizată), adică pentru funcția respectivă
Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare distribuite în mod normal pentru valorile arbitrare ale parametrilor poate fi exprimată prin termenii funcției Laplace dacă facem substituția :. atunci. (24,4)
Și probabilitatea unei variabile aleatoare distribuite în mod normal care se încadrează într-un interval dat:
Notă. Dacă este utilizată o funcție tabelară Laplace. atunci trebuie avut în vedere că.
Un exemplu. O variabilă aleatoare X are o distribuție normală cu parametrii a = 3, # 963; = 2. Găsiți probabilitatea că va lua o valoare din intervalul (4, 8).
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: