9.3. Sisteme de ecuații algebrice liniare
Întrebarea centrală a algebrei liniare computaționale este soluția sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE), adică sisteme de ecuații de formă
În forma matricii, SLAU este scrisă în forma echivalentă:
unde A este matricea coeficienților SLAE de dimensiune NXN, x este vectorul necunoscut și b este vectorul laturilor drepte ale ecuațiilor.
Sistemele de ecuații liniare reduc setul, dacă nu majoritatea, al problemelor matematicii computaționale. Un astfel de exemplu este dat în Sec. "Scheme de diferențiere pentru ODE" Ch. 12.
SLAE are o soluție unică, în cazul în care matricea A este nesingular, sau, alternativ, o nesingular, t. Determinant E. ei nu este zero. Din punct de vedere computațional, soluția SLAE nu prezintă dificultăți dacă matricea A nu este foarte mare. Cu o matrice mare de probleme, de asemenea, nu apare, dacă nu este foarte rău condiționat. În Mathcad, SLAE poate fi rezolvată într-o formă mai vizuală (1) și într-o formă mai convenabilă pentru înregistrare (2). Pentru prima metodă, utilizați blocul de calcul "Given / Find" (vezi capitolul 8), iar pentru al doilea, funcția de izolare încorporată.
- (A, b) este soluția unui sistem de ecuații liniare;
- A este matricea coeficienților sistemului;
- b este vectorul laturilor drepte.
Utilizarea funcției de izolare este prezentată în Lista 9.33. În acest caz, matricea A poate fi definită prin oricare dintre metode (a se vedea secțiunea "Arrays" din capitolul 4), opțional explicit, ca în toate exemplele acestei secțiuni. Funcția de izolare încorporată poate fi utilizată cu soluția simbolică SLAU (a se vedea Listing 9.34).
Sistemul de ecuații care corespund matricei A și vectorului b este scris explicit în Lista 9.35.
Listing 9.33. Soluția SLAU
Listing 9.34. Soluția simbolică a SLAU (continuarea listei 9.33)
În unele cazuri, pentru o mai mare vizibilitate a reprezentării SLAU, ea poate fi rezolvată exact în același mod ca un sistem de ecuații neliniare (vezi capitolul 8). Un exemplu de soluție numerică a SLAE din listele anterioare este prezentat în Lista 9.35. Nu uitați că, cu o soluție numerică, toate necunoscutele trebuie să atribuie valori inițiale (acest lucru se face în primul rând al listei 9.35). Acestea pot fi arbitrare, deoarece soluția unui SLAE cu o matrice nondegenerată este unică.
Când rezolvăm SLAU folosind funcția Find, Mathcad selectează automat un algoritm numeric liniar, așa cum se poate verifica apelând meniul contextual din numele Find.
Listing 9.35. Soluția SLAU utilizând un bloc de calcul
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: