, unde M1k este determinantul matricei (determinantului) obținut din matricea inițială de către primul rând și coloana k. Trebuie remarcat faptul că determinanții au numai matrice pătrată, adică matrice a căror număr de rânduri este egal cu numărul de coloane. Prima formulă ne permite să calculam determinantul matricei din primul rând, iar formula pentru calcularea determinantului matricei față de prima coloană este, de asemenea, validă:
În general, determinantul unei matrice poate fi calculat din orice rând sau coloană a matricei, adică se aplică următoarea formulă:
Este evident că diferite matrici pot avea aceiași determinanți. Factorul determinant al matricei de identitate este 1. Pentru matricea indicată A, numărul M1k este numit minorul suplimentar al elementului matricei a1k. Astfel, putem concluziona că fiecare element al matricei are propriul minor minore. Minorii adiționali există numai în matrici pătrată.
Minorul suplimentar al unui element arbitrar al matricei pătrat aij este egal cu determinantul matricei obținute din matricea inițială prin ștergerea rândului i și coloanei j.
Calculul determinanților matricelor din ordinea a patra și superioară conduce la calcule mari, deoarece:
pentru a găsi determinantul unei matrice de ordinul întâi, găsim un termen constând dintr-un singur factor;
pentru a găsi determinantul unei matrice de ordinul doi, este necesar să se calculeze o sumă algebrică a doi termeni, în care fiecare termen constă în produsul a doi factori;
pentru a găsi determinantul unei matrice de ordinul trei, este necesar să se calculeze o sumă algebrică de șase summands, în care fiecare termen constă în produsul a trei factori;
Pentru a găsi determinantul matricei de ordinul al patrulea, trebuie să calculam o sumă algebrică de douăzeci și patru de sume, în care fiecare termen constă în produsul a patru factori și așa mai departe.
Determinați numărul de termeni, pentru a găsi determinantul matricei, într-o sumă algebrică, prin calcularea factorului:
1! = 1
2! = 1 × 2 = 2
3! = 1 × 2 × 3 = 6
4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.
Proprietățile determinanților matricei:
Determinantul matricei nu se va schimba dacă rândurile sale sunt înlocuite cu coloane, fiecare rând fiind o coloană cu același număr și invers (Transpunere).
| A | = | A | T
Coloanele și rândurile determinantului matricei sunt egale, prin urmare, proprietățile inerente rândurilor sunt de asemenea satisfăcute pentru coloane.
Atunci când două rânduri sau coloane sunt rearanjate, determinantul matricei modifică semnul la cel opus, menținând valoarea absolută, adică:
Determinantul unei matrice având două rânduri identice este egal cu zero.
Multiplicatorul comun al elementelor oricărei serii a determinantului matricei poate fi extras dincolo de semnul determinantului.
Consecințele proprietăților nr. 3 și nr. 4:
Dacă toate elementele unui rând (rând sau coloană) sunt proporționale cu elementele corespunzătoare ale seriei paralele, atunci un astfel de determinant al matricei este zero.
Dacă toate elementele unui rând sau coloană a determinantului matricei sunt zero, atunci determinantul matricei în sine este zero.
Dacă toate elementele dintr-un rând sau o coloană a determinantului sunt reprezentate ca o sumă de 2 termeni, atunci determinantul matricei poate fi reprezentat ca o sumă de 2 determinanți conform formulei:
Trimiteți-le prietenilor: