Proprietățile modulului și argumentul unui număr complex fac posibilă obținerea formulei pentru construirea unui număr complex într-un grad pozitiv întreg:
- această formulă se numește formula Moivre.
Sau într-o formă indicativă.
Este ușor de verificat dacă această formulă rămâne valabilă. și pentru puteri negative întregi.
Soluția. Mai întâi scriem numărul în forma trigonometrică:
Conform formulei Moivre, avem:
Definiție: Rădăcina n a unui număr complex este un număr complex. pentru care:
Din definiția și formula Moivre este clar că modulul rădăcinii dorite va fi. ci un argument. în cazul în care. În acest fel,
Să dăm valori "k" mai mari decât nu are sens, deoarece vom obține valorile deja existente ale argumentului (înăuntru). Prin urmare, a n-a rădăcină a numărului complex are n valori diferite, ale căror module sunt aceleași (), iar argumentele celor două valori succesive diferă într-un unghi. Astfel, toate valorile rădăcinii se află pe un cerc cu centrul de la originea coordonatelor razei.
Exemplu: Calculați toate valorile rădăcină
Un exemplu. Găsiți toate valorile.
Să fie un set de numere complexe (sau set de puncte ale planului complex). Fie ca numărul complex să aibă valoare. atunci îl numim o variabilă complexă și un domeniu al schimbării sale.
Definiția. O cantitate este numită funcție a unei variabile independente dacă la fiecare valoare există una sau mai multe valori complexe. în același timp, ei scriu :.
Noi scriem numerele complexe în forma algebrică:
Apoi. și prin urmare definirea unei funcții a unei variabile complexe este echivalentă cu specificarea a două funcții reale ale a două variabile reale.
Definiția. Numărul este numit limita funcției pentru. dacă pentru oricare dintre acestea există. că imediat ce (). Înregistrare :.
Este ușor să arătăm că relația,
în cazul în care. a. este echivalentă cu două relații reale :.
Definiția. Se spune că funcția este continuă într-un punct. dacă este definită în unele vecinătăți ale acestui punct și.
În cazul în care. definite pe set. este continuă în fiecare punct al acestui set, atunci spunem că este continuă pe set. Este din nou ușor să demonstrăm că condiția de continuitate pentru o funcție la un punct este echivalentă cu două relații :. Astfel, funcția unei variabile complexe este continuă într-un punct dacă și numai dacă părțile sale reale și imaginare sunt considerate funcții ale variabilelor reale și. sunt continue în același punct.
Introducem definițiile funcțiilor elementare de bază ale unei variabile complexe.
Definiția. Funcția pentru valorile complexe z = x + iy este definită de formula :.
Pentru orice și echitabil :.
· Funcția este periodică cu perioada. .
· Funcția este continuă pe întregul domeniu complex.
· Pentru orice egalitate:
· Funcția ia toate valorile cu excepția zero, adică ecuația este soluționabilă pentru orice complex.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: