Exemplul 1. y '' - y '- 6 = 2x
Căutăm soluția ecuației în forma y = e rx prin intermediul ecuațiilor diferențiale liniari de serviciu. Pentru aceasta, compunem ecuația caracteristică a unei ecuații diferențiale omogene diferențiale cu coeficienți constanți:
r2-r-6 = 0
D = (-1) 2 - 4 • 1 • (-6) = 25
Rădăcinile ecuației caracteristice:
r1 = 3
r2 = -2
Prin urmare, sistemul fundamental de decizii este alcătuit din funcții:
y1 = e3x
y2 = e-2x
Soluția generală a ecuației omogene are forma:
Luați în considerare partea dreaptă:
f (x) = 2x
Căutați o soluție privată.
Ecuația diferențială liniară cu coeficienți constanți și partea dreaptă a formei:
R (x) = e (X)), unde P (x) si Q (x) sunt cateva polinoame
are o soluție specială
y (x) = x k e (X) (x) (x) x (x)
unde k este multiplicitatea rădăcinii # 945 + # 946; i polinomul caracteristic ecuației omogene, R corespunzătoare (x), S (x) - polinoame care urmează să fie determinată, al cărei grad este egal cu gradul maxim de polinoamele P (x), Q (x).
Aici P (x) = 2x, Q (x) = 0, # 945; = 0, # 946; = 0.
În consecință, numărul # 945; + I = 0 + 0i nu este o rădăcină a ecuației caracteristice.
Ecuația are o soluție particulară a formei:
y * = Axa + B
Calculăm derivatele:
y '= A
y '' = 0
pe care le înlocuim în ecuația diferențială inițială:
y '' -y '-6y = -A -6 (Ax + B) = 2x
sau
-6Ax-A-6B = 2x
Ecuând coeficienții pentru aceleași puteri ale lui x, obținem un sistem de ecuații:
-6A = 2
-1A-6B = 0
Din prima linie exprimăm A = 2 / (-6) = -1 / 3. pe care îl înlocuim în al doilea rând: 1/3 = 6B
A = -1 / 3; B = 1/18;
Soluția particulară arată astfel:
y * = -1 / 3 x + 1/18
Astfel, soluția generală a ecuației diferențiale are forma:
Decizia a fost primită și formalizată cu ajutorul serviciului:
Ecuații diferențiale
Exemplul 2. y "-2y '+ y = x-1
Această ecuație diferențială se referă la ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți.
Căutăm soluția ecuației în forma y = e rx. Pentru aceasta, compunem ecuația caracteristică a unei ecuații diferențiale omogene diferențiale cu coeficienți constanți:
r 2 -2 r + 1 = 0
D = (-2) 2 - 4 • 1 • 1 = 0
Rădăcinile ecuației caracteristice:
Rădăcina ecuației caracteristice r1 = 1 a multiplicității 2.
Prin urmare, sistemul fundamental de decizii este alcătuit din funcții:
y1 = e x
y2 = xe x
Soluția generală a ecuației omogene are forma:
Luați în considerare partea dreaptă:
f (x) = x-1
Căutați o soluție privată.
Ecuația diferențială liniară cu coeficienți constanți și partea dreaptă a formei:
R (x) = e (X)), unde P (x) si Q (x) sunt cateva polinoame
are o soluție specială
y (x) = x k e (X) (x) (x) x (x)
unde k este multiplicitatea rădăcinii # 945 + # 946; i polinomul caracteristic ecuației omogene, R corespunzătoare (x), S (x) - polinoame care urmează să fie determinată, al cărei grad este egal cu gradul maxim de polinoamele P (x), Q (x).
Aici P (x) = x-1, Q (x) = 0, # 945; = 0, # 946; = 0.
În consecință, numărul # 945; + I = 0 + 0i nu este o rădăcină a ecuației caracteristice.
Ecuația are o soluție particulară a formei:
y * = Axa + B
Calculăm derivatele:
y '= A
y '' = 0
pe care le înlocuim în ecuația diferențială inițială:
y '' -2y '+ y = -2A + (Ax + B) = x-1
sau
A • x-2A + B = x-1
Ecuând coeficienții pentru aceleași puteri ale lui x, obținem un sistem de ecuații:
A = 1
-2A + B = -1
Din: A = 1; B = 1;
Soluția particulară arată astfel:
y * = x + 1
Astfel, soluția generală a ecuației diferențiale are forma:
Exemplul 3. y '' + 6y '+ 9y = 9x2 + 12x-43
Această ecuație diferențială se referă la ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți.
Căutăm soluția ecuației în forma y = e rx. Pentru aceasta, compunem ecuația caracteristică a unei ecuații diferențiale omogene diferențiale cu coeficienți constanți:
r 2 + 6 r + 9 = 0
D = 6 2 - 4 • 1 • 9 = 0
Rădăcinile ecuației caracteristice:
Rădăcina ecuației caracteristice r1 = -3 a multiplicității 2.
Prin urmare, sistemul fundamental de decizii este alcătuit din funcții:
y1 = e-3x
y2 = xe -3x
Soluția generală a ecuației omogene are forma:
Luați în considerare partea dreaptă:
f (x) = 9 • x 2 + 12 • x-43
Căutați o soluție privată.
Ecuația diferențială liniară cu coeficienți constanți și partea dreaptă a formei:
R (x) = e # 945; x (P (x) cos (# 946; x) + Q (x) sin (# 946; x)), unde P (x), Q (x) - sunt polinoame
are o soluție specială
y (x) = x k e (X) (x) (x) x (x)
unde k este multiplicitatea rădăcinii # 945 + # 946; i polinomul caracteristic ecuației omogene, R corespunzătoare (x), S (x) - polinoame care urmează să fie determinată, al cărei grad este egal cu gradul maxim de polinoamele P (x), Q (x).
Aici P (x) = 9 • x 2 + 12 • x-43, Q (x) = 0, # 945; = 0, # 946; = 0.
În consecință, numărul # 945; + I = 0 + 0i nu este o rădăcină a ecuației caracteristice.
Ecuația are o soluție particulară a formei:
y * = Axa 2 + Bx + C
Calculăm derivatele:
y '= 2 • A • x + B
y "= 2 • A
pe care le înlocuim în ecuația diferențială inițială:
y + 6y + 9y = 2 • A + 6 (2 • A • x + B) + 9 (Ax 2 + Bx + C) = 9 • x 2 + 12 • x-43
sau
9 • A • x 2 + 12 • A • x + 2 • A + 9 • B • x + 6 • B + 9 • C = 9 • x 2 + 12 • x-43
Ecuând coeficienții pentru aceleași puteri ale lui x, obținem un sistem de ecuații:
9A = 9
12A + 9B = 12
2A + 6B + 9C = -43
Rezolvarea ei prin metoda Gauss. găsim:
A = 1; B = 0; C = -5;
Soluția particulară arată astfel:
y * = x 2 -5
Astfel, soluția generală a ecuației diferențiale are forma:
y = C1 e -3 x + C2 xe-3 x + x 2 -5
Regulile de introducere a datelor
Adresați-vă întrebările sau lăsați-vă dorințele sau comentariile în partea de jos a paginii în secțiunea Disqus.
De asemenea, puteți lăsa o solicitare de ajutor în rezolvarea problemelor cu partenerii noștri de încredere (aici sau aici).
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: