Definiția. Un set este numit un spațiu liniar (vector). în cazul în care:
I. Se stabilește o regulă care indică modul în care, pentru oricare două elemente
. de la găsirea într-un element, numită suma lor
și marcate cu +.
II. O regulă este dată indicând cum, pentru orice realitate
(sau complex) și orice element de găsit în
Un element nou, numit produsul și denotat de
simbol sau.
III. Conceptul de egalitate a elementelor în. marcat cu semnul "=".
IV. I și II se numesc adăugare și înmulțire cu un număr, respectiv, și satisfac următoarele opt condiții:
4) multiplicarea este distributivă în ceea ce privește adăugarea elementelor din
Înmulțirea este distributivă în ceea ce privește adăugarea de numere
6) există un astfel de element. numit zero. că
7) pentru orice element
8) pentru orice element există un element -. numit elementul opus. că
Dacă produsul este definit numai pentru numere reale, atunci se spune că un spațiu liniar este real. dacă produsul este definit pentru orice număr complex. atunci se spune că un spațiu liniar este complex. Elementele unui spațiu liniar sunt numite vectori (sau puncte) și sunt marcate cu litere. . . .
Proprietățile unui spațiu liniar
Exemplele principale de spații liniare vor fi indicate mai jos, dar mai întâi dăm (fără dovadă) cele mai simple proprietăți care rezultă direct din definiția spațiului liniar.
Proprietatea 1. În fiecare spațiu liniar, există un caracter unic
zero vector.
Proprietatea 2. În fiecare spațiu liniar pentru fiecare vector există un vector opus unic.
Proprietatea 3. În orice spațiu liniar pentru orice vector are
plasați egalitatea
În partea stângă a ecuației, simbolul înseamnă numărul zero, iar în partea dreaptă vectorul zero O.
Proprietatea 4. Produsul de orice număr pe vectorul zero este egal cu vectorul zero, adică,
Proprietatea 5. Pentru fiecare element, elementul opus este egal cu
produsul acestui element cu un număr - 1, adică,
Dacă natura elementelor incluse în. și reguli obra-mations suma elementelor și numărul de muncă element-AUC sunt atașate (și punctul III și IV punctul axiome făcut), fie liniar spațiu-numit de beton.
Exemple de spații liniare specifice
Exemplul 1. Setul de numere reale cu privire la operațiunile obișnuite de adăugare și multiplicare a numerelor este un spațiu liniar real.
Exemplul 2. Setul tuturor vectorilor în spațiul liber este un spațiu vectorial, pentru toate item axioma IV executat (operație plus vectorul conform regulii paralelogramului și înmulțirea cu numărul de vectori definit în mod convențional).
denotă două soluții ale unui sistem de ecuații lineare omogene
Anterior sa arătat că suma lor
și produsul oricăruia dintre ele (pentru claritate) printr-un număr real arbitrar
vor fi de asemenea soluții ale sistemului (1.16).
Este ușor de arătat că setul de soluții omogene (1.16) este un spațiu liniar, în care un element de zero este elementul O (0. 0. 0), și se află vizavi de elementul elementul (..) (- .. -). Această afirmație rezultă din fezabilitatea celor opt condiții ale punctului IV, așa cum este ușor de verificat ca urmare a unei verificări elementare a fiecăruia dintre ele.
Exemplul 4. Un set. elemente ale cărora sunt ordonate colecții de numere reale arbitrare = (...). Setul poate fi considerat ca o colecție de toate rândurile posibile, fiecare dintre ele conținând numere reale ordonate. În acest caz, două linii
sunt considerate diferite dacă cel puțin una dintre egalități
Operațiuni de adăugare pentru elemente și seturi. multiplicare
element printr-un număr real este definită de reguli
Dacă pentru elementul zero luăm setul de zerouri 0 = (0. 0, ..., 0) și elementul opus elementului. va exista un element. atunci validitatea condițiilor punctului IV este stabilită printr-o verificare elementară a fiecăruia dintre ele.
Exemplul 5. Setul tuturor polinomilor dintr-o variabilă. a cărui grad este mai mic sau egal cu un număr dat. Este ușor de observat că suma oricăror două polinoame și din este, de asemenea, un polinom de grad cel mult. adică, aparține. și produsul unui număr arbitrar de către orice polinom este de asemenea un polinom de grad cel mult. și, prin urmare, aparține. Înțelegând, ca de obicei, sub egalitățile multor membri și egalitatea coeficienților lor pentru același grad. Este ușor să verificăm direct că toate axiomele celui de-al patrulea punct sunt îndeplinite. Observăm că printr-un element zero înțelegem un polinom în care toți coeficienții sunt zero.
Exemplul 6. Setul tuturor funcțiilor continue ale unei variabile. care este marcat printr-un simbol. deoarece pentru orice funcții continue și suma lor + este continuă pe o sumă de funcții continue și produsul unui număr și funcția este de asemenea continuă, este un spațiu liniar.
În studiul algebrei vectoriale, a fost introdus conceptul unei combinații liniare de vectori. Generalizăm acest concept în cazul unui spațiu liniar.
Să denotăm vectori arbitrari ai unui spațiu liniar.
Definiție 1. O combinație liniară de vectori este suma produselor acestor elemente în numere reale pro-reale. adică vectorul
Numere. se numesc coeficienții acestei combinații liniare.
Definiția 2. Vectorii sunt numiți dependenți liniar. dacă nu există mai mult de toate zero, astfel încât egalitatea
Dacă, totuși, (2.18) este posibilă numai în cazul unic atunci când
atunci vectorii sunt numiți liniar independenți.
Să luăm în considerare exemple.
Exemplul 1. Să ne întoarcem la spațiul liniar. ale căror elemente sunt polinoame într-o singură variabilă. a cărui grad este mai mic sau egal cu un număr dat.
formează un sistem liniar independent în acest spațiu. Independența liniară a sistemului (1.19) rezultă din faptul că relația
poate fi îndeplinită pentru oricine numai dacă
Exemplul 2. Într-un spațiu liniar ale cărui elemente sunt vectori liberi în plan, oricare trei vectori sunt dependenți liniar, adică există astfel de numere. nu egal cu zero simultan, astfel încât relația
Exemplul 3. Funcțiile sunt dependente liniar, deoarece relația
este identic dacă îl punem.
Teorema. Dacă vectorii sunt dependenți liniar, atunci unul dintre ei poate fi reprezentat ca o combinație liniară a vectorilor rămași. Dovada. Într-adevăr, dacă vectorii sunt dependenți liniar, adică relația (1.18) este satisfăcută și aici, din motive de claritate, presupunem asta.
sau, împărțind ambele părți ale ultimei egalități
Este clar că și conversația este adevărată. Ultima egalitate se numește extinderea vectorului în raport cu vectorii.
Bazele și coordonatele
Definiție 1. Un sistem de vectori liniar independenți ai unui spațiu liniar este numit baza acestui spațiu dacă fiecare vector din acest spațiu poate fi reprezentat ca o combinație liniară de vectori. și anume
unde sunt coeficienții combinației liniare.
Teorema. Coeficienții din expansiune (2.20) sunt determinați în mod unic.
Dovada. Într-adevăr, să presupunem, dimpotrivă, că pentru un vector există două extinderi în vectori:
Subtragerea celui de-al doilea de la prima egalitate, avem
Dar, deoarece vectorii sunt independenți liniar, ultima egalitate este posibilă numai dacă
din care rezultă unicitatea reprezentării vectorului sub forma unei combinații liniare de vectori. Acestea sunt numerele determinate în mod unic. se numesc coordonatele vectorului în raport cu baza. și sunt înregistrate
fie ca o coloană
care se numește coloană de coordonate.
Exemplul 1. În setul de vectori liberi în spațiu, tripla vectori reciproc ortogonali formează o bază. Coordonatele vectorului cu privire la această bază sunt proiecțiile vectorului pe axele de coordonate.
Exemplul 2. Într-un spațiu liniar de polinoame. a cărui grad este mai mic sau egal cu. monoamele
formează o bază. Coordonatele fiecărui polinom
în această bază sunt coeficienții săi.
În orice bază fixă, toți vectorii pot fi definiți prin sisteme de numere - coordonatele lor în baza aleasă. Este ușor de verificat dacă vectorii sunt dat de coordonatele lor, atunci adăugarea lor, scăderea și multiplicarea cu un număr sunt reduse la acțiunile corespunzătoare pe coordonate.
Definiție 1. Spațiu liniar. în care există o bază de vectori, se numește - dimensională. iar numărul este dimensiunea spațiului.
Uneori, pentru a specifica dimensiunea spațiului de scriere.
Exemplul 1. Setul de vectori liberi pe un plan este un spațiu liniar bidimensional, iar setul de vectori liberi în spațiu este un spațiu liniar tridimensional.
Exemplul 2. Spațiul liniar al polinomilor a cărui grad nu este mai mare de 4 este cinci-dimensională.
Definiția 2. Un spațiu liniar este numit infinit-dimensional. dacă pentru fiecare număr natural există vectori independenți liniar.
Definiție 1. Un subspațiu al unui spațiu liniar este un set de elemente al cărui spațiu este el însuși un spațiu liniar cu aceleași operații de adăugare și multiplicare cu un număr.
Exemplul 1. Într-un spațiu liniar al vectorilor liberi într-un plan, mulțimea tuturor vectorilor paralele cu o anumită linie este un subspațiu.
Exemplul 2. În spațiul vectorilor, ale căror elemente sunt matrice cu o singură coloană
unde sunt numere reale, mulțimea de vectori care satisface un sistem de ecuații liniare omogene
formează un subspațiu liniar. Acest lucru rezultă din faptul că suma soluțiilor sistemului (1.21) și produsul soluției la orice număr real sunt, de asemenea, soluțiile sale.
Exemplul 3. Setul tuturor polinoamelor. a cărui grad nu este mai mare de două, este un subspațiu în spațiul tuturor polinoamelor. a cărui grad nu este mai mare de patru.
Exemplul 4. Un vector zero al unui spațiu liniar formează evident cel mai mic subspațiu posibil al spațiului.
Exemplul 5. Spațiul liniar în sine este cel mai mare subspațiu posibil al spațiului.
Observăm două proprietăți ale subspațiilor:
Proprietatea 1. Dimensiunea oricărui subspațiu într-un spațiu liniar dimensional nu depășește un număr.
Proprietatea 2. Dacă se alege o bază în subspațiul -dimensional al unui spațiu -dimensional. atunci este întotdeauna posibilă selectarea vectorilor în plus. că sistemul de vectori formează o bază în.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: