Definiția affine transformations
Să vorbim despre întinderea și stoarcerea unor forme plate.
Dacă întindeți un cerc de-a lungul unei direcții, obțineți o curbă locală - o elipsă.
Dacă întindeți pătratul într-o direcție paralelă cu o pereche de laturi, obțineți un dreptunghi. Dacă pătratul este întins sau presat în direcția diagonală, se obține un paralelogram.
Dar ce se întinde și se comprimă? Cum să le definiți strict?
Întinderea și contracția, despre care vom vorbi, într-un anumit sens, sunt uniforme.
Aceasta uniformitate inseamna ca toate piesele planului se vor extinde (shrink) in acelasi mod.
În plus, atunci când întindem (strângem) pătratul, laturile sale - segmentele rămân segmente.
Astfel de prelungiri uniforme (contracții) se numesc transformări afine.
Transformarea unui avion se numește afină. dacă este una la-unu și imaginea oricărei linii este o linie. Se spune că transformarea este una la-unu. dacă ia puncte diferite în diferite puncte și un punct trece la fiecare punct.
Amintiți-vă că o transformare este o cartografiere a unui set pe ea însăși. O cartografiere se numește una la una (bijectivă) dacă diferite elemente merg la altele diferite, iar la fiecare element, un element merge.
Un caz particular de transformări afine este pur și simplu mișcări (fără nici o comprimare sau extensie). Mișcările sunt transformări care mențin distanța dintre orice două puncte neschimbate, și anume, descompuneri paralele, rotații, simetrii diferite și combinațiile lor.
Un alt caz important al transformărilor afine este întinderea și contracția în raport cu o linie dreaptă.
Figura 1 prezintă diferitele mișcări ale planului cu casa vopsită pe ea. Figura 2 prezintă diferitele transformări afine ale acestui plan.
Figura 1. Exemple de mișcări.
Figura 2. Exemple de transformări afine.
Denumim setul de mișcări ale planului ca M o t. și setul de transformări afine ca A f f. Apoi următoarea afirmație este adevărată.
Un set de mișcări este un subset al setului de transformări afine.
Acest lucru pare evident. Să înțelegem ce avem nevoie să dovedim. Pentru a face acest lucru, trebuie să ne uităm din nou la definirea mișcărilor și a transformărilor afine. Este necesar să se demonstreze că orice mișcare este afinată. Aceasta este, trebuie să arătați că atunci când mutați diferite puncte mergeți în altul, iar imaginea oricărei linii este o linie dreaptă.
Este intuitiv clar - când se mișcă, cifrele nu își schimbă deloc forma și dimensiunea, ci doar își schimbă poziția pe plan. De asemenea, liniile drepte își vor păstra forma - stați drept. Mișcarea poate fi considerată ca mișcând o bucată de hârtie cu un model pe birou. Când se mișcă, diferitele puncte rămân diferite, deoarece distanțele sunt păstrate. Dacă punctele au fost "separate" de o anumită distanță, atunci după mișcare vor fi "împărțite" la aceeași distanță.
Definiție 3. O prelungire a unui plan în raport cu o linie dreaptă l cu coeficientul k ≠ 0 este transformarea planului sub care fiecare punct M trece într-un astfel de punct M '. că distanța de la linia dreaptă la M 'este k ori mai mare decât la punctul M. iar proiecția punctelor M și M 'pe linia l coincide. Dacă coeficientul k este pozitiv, atunci punctele M și M 'se află pe o parte a liniei l. dacă este negativă - atunci este diferită.
Figura 3. Comprimarea și întinderea relativ drepte.
Să demonstrăm că întinderea (contracția) față de linie este o transformare afină. În primul rând, această transformare este una la-unu. Pentru a demonstra acest lucru, observăm că pentru fiecare comprimare există o întindere în care toate punctele se întorc în locurile lor și invers, pentru fiecare extensie există o compresie care întoarce totul în locurile sale. Și acum folosim teorema:
Dacă transformarea g este inversă la transformarea f. iar transformarea f este inversă la transformarea g. atunci f și g sunt transformări unu-la-unu.
Transformarea g se numește inversul transformării f. dacă transformarea g. aplicată după transformarea f. toate punctele se întorc în locurile lor. Dacă transformarea f deplasează punctul A la punctul B. atunci transformarea inversă ia punctul B la punctul A.
Întinderea (contracția) în raport cu o linie este o transformare afină.
Rămâne pentru noi să arătăm că contracția și extensia sunt linii drepte. Permiteți întinderea să fie relativă la linia dreaptă l. Vom direcționa de-a lungul axei X. Luați în considerare orice linie m. Există două cazuri posibile.
1) Dacă intersectează cu l. atunci tragem axa Y prin punctul de intersecție. perpendicular pe X. Apoi, ecuația liniei m va avea forma:
Punctul (x, y) = (x, A x) al liniei drepte m va trece în punctul cu coordonatele (x ', y') = (x .K y) = (x. Deci, coordonatele punctelor noi vor satisface ecuația
Este ecuația unei linii drepte. Astfel, imaginile punctelor liniei y = a x se află pe linia y = k a x.
2) Dacă nu se intersectează.
Problema 13.1 [9] Cazul în care m nu se intersectează l. gândiți-vă singuri.
Dacă m nu se intersectează. atunci toate punctele m sunt scoase din linia l cu o anumită distanță d. După comprimare sau întindere în raport cu l, ele devin puncte care sunt îndepărtate de la o linie dreaptă cu o distanță | k d | și totuși se află pe o parte a liniei drepte l. Deci, vor sta pe o linie dreaptă.
Astfel, în plus față de mișcările plane, transformările afine conțin și contracții și se extind în raport cu o linie dreaptă. Dacă aplicăm întinderea cu privire la o linie și apoi în raport cu o altă linie dreaptă, atunci vom obține din nou o transformare afină, deoarece atât prima, cât și a doua întindere au păstrat liniile drepte și au tradus diferite puncte în altele diferite. În general, este adevărat
Compoziția transformărilor afine este din nou o transformare afină:
Figura 4. În proiectarea paralelă de la un plan la altul, figura este întinsă (comprimată) în raport cu intersecția dreaptă a planurilor.
Demonstrați faptul că atunci când o proiecție paralelă a unei figuri de la un avion la altul, cifra de pe al doilea
1) coincide cu ceea ce este reprezentat pe prima, dacă planurile sunt paralele;
2) este extensia (compresia) a ceea ce este reprezentat pe primul plan, în raport cu linia de intersecție a planurilor, dacă planurile se intersectează.
Există încă o clasă importantă de transformări afine - acestea sunt compresie și extindere cu privire la un punct. Ele se numesc transformări ale asemănării sau ale homotheties.
Articole similare
-
Metode de transformare a unui desen complex, aplicând pentru imaginea obiectelor
-
Aflină ceea ce este sensul afinnyj și interpretarea cuvântului, definiția termenului
Trimiteți-le prietenilor: