Tema 6. Calculul diferențial al funcțiilor unei variabile
Derivația unei funcții a unei variabile
Lăsați funcția să fie definită la un anumit interval. Argumentul va da o creștere. . atunci funcția va crește. Să găsim limita acestei relații pentru Dacă această limită există, atunci ea se numește derivată a funcției. Derivatul funcției are mai multe notații :. Uneori, un indice este utilizat în desemnarea unui derivat. indicând ce variabilă este derivată.
Definiția. Derivata unei funcții într-un punct numit limita raportului funcției creștere cu creșterea argumentului, în cazul în care increment argumentul tinde la zero (dacă există această limită):
Definiția. Funcția. Ea are un derivat în fiecare punct al intervalului. se numește diferențiat în acest interval.
Definiția. Funcționarea găsirii derivatului unei funcții se numește diferențiere.
Valoarea derivatului unei funcții la un punct este marcată de unul dintre simboluri:
Exemplu: Găsiți derivatul unei funcții la un punct arbitrar.
Soluția. Oferim o creștere a valorii. Să găsim incrementarea funcției într-un punct. . Să facem o relație. Să trecem la limită :. Astfel.
Semnificația mecanică a derivatului. Deci, cum sau. și anume viteza mișcării rectilinii a unui punct material la un moment dat este un derivat al căii de-a lungul timpului. Acesta este sensul mecanic al derivatului.
Dacă o funcție descrie orice proces fizic, atunci derivatul este viteza acestui proces. Acesta este sensul fizic al derivatului.
Semnificația geometrică a derivatului. Să luăm în considerare graficul unei curbe continue. având o tangentă non-verticală în punctul respectiv. Găsiți pantă. unde este unghiul tangentei față de axă. Pentru a face acest lucru, trageți un secant prin punctul și plotul (Figura 1).
Denumiți - unghiul dintre secant și axa. Figura arată că panta secantului este
Având în vedere continuitatea funcției, creșterea crește de asemenea la zero; prin urmare, punctul se apropie nelimitat de-a lungul curbei până la punct. dar secant. întorcându-se în jurul punctului. devine tangentă. Unghi. și anume . În consecință ,. astfel încât panta tangentei este.
Coeficientul unghiular al tangentei la curbă
. Respingem această egalitate în forma :. și anume derivatul în acest punct este egal cu panta tangentei la graficul funcției într-un punct a cărui abscisă este egală cu. Acesta este sensul geometric al derivatului.
Exemplu Găsiți panta tangentei la graficul funcției într-un punct.
Dacă punctul de tangență are coordonate (Figura 2), panta tangentei este :.
Ecuația unei linii drepte care trece printr-un punct dat într-o anumită direcție are forma :. Apoi ecuația tangentă este scrisă ca :.
Definiția. Linia dreaptă perpendiculară pe tangenta în punctul de tangență se numește normal la curbă.
Coeficientul unghiular al normalului este: (deoarece normalul este perpendicular pe tangenta). Ecuația normală are forma :. în cazul în care.
Exemplu: Scrieți ecuațiile tangente și normale la o curbă într-un punct cu abscisă.
Soluția. Noi găsim. Noi găsim derivatul. Deoarece și. atunci folosim ecuațiile și.
Înlocuirea valorilor obținute și obținerea ecuațiilor tangentei. și anume . Ecuația normală: sau.
Dacă o funcție are un derivat finit într-un punct, atunci acesta este diferențiabil la acest punct. Dacă funcția este diferențiată în fiecare punct al intervalului, atunci este diferențiată în acest interval.
Teorema 6.1 Dacă o funcție poate fi diferențiată la un moment dat, atunci ea este continuă în ea.
Teorema inversă este falsă. Este posibil ca o funcție continuă să nu aibă un derivat.
Exemplu Funcția este continuă pe interval (Figura 3).
Soluția. Derivatul acestei funcții este
Într-un punct, funcția nu este diferențiată.
Notă. În practică, este adesea necesar să se găsească derivate ale funcțiilor complexe. Prin urmare, în tabelul formulelor de diferențiere, argumentul este înlocuit de un argument intermediar.
2). în special;
3). în special;
4). în special;
Funcții trigonometrice inverse. . . :
Pentru a diferenția o funcție înseamnă a-și găsi derivatul, adică pentru a calcula limita :. Cu toate acestea, definirea limitei în majoritatea cazurilor este o sarcină greoaie.
Dacă știți derivatele funcțiilor elementare de bază și regulile de diferențiere să cunoască rezultatele operații aritmetice pe aceste funcții, puteți găsi cu ușurință orice derivate de funcții elementare, în conformitate cu normele de instrumente financiare derivate care sunt bine cunoscute din cursul școlii.
Fie funcțiile u două funcții diferențiate într-un anumit interval.
Teoremă 6.2 Derivatul sumei (diferenței) a două funcții este egal cu suma (diferența) derivatelor acestor funcții :.
Teorema este valabilă pentru orice număr finit de termeni.
Exemplu Găsiți derivatul unei funcții.
Teorema 6.3 Derivatul produsului din două funcții este egal cu produsul derivatului primului factor cu cel de-al doilea plus produsul primului factor cu derivatul celui de-al doilea:.
Exemplu Găsiți derivatul unei funcții.
Teorema 6.4 Derivata raportul dintre două funcții. dacă este egală cu o fracțiune, numărătorul care este diferența dintre lucrările numitorul și numărătorul este derivata numărătorul fracției pe derivata numitorului și numitorul este pătratul numitorul vechi :.
Exemplu Găsiți derivatul unei funcții.
Pentru a găsi derivatul unei funcții complexe, înmulțim derivatul unei funcții date cu argumentul intermediar de derivatul argumentului intermediar cu privire la argumentul independent
Această regulă rămâne valabilă dacă există mai multe argumente intermediare. Deci, dacă. . .
Fie u, atunci să fie o funcție complexă cu un argument intermediar și un argument independent.
Teoremă 6.5 Dacă funcția are un derivat într-un punct. iar funcția are un derivat la punctul corespunzător. atunci funcția complexă are un derivat în acest punct. care se găsește prin formula.
Exemplu Găsiți derivatul unei funcții
Soluția. Aplicăm regula de diferențiere a unei funcții complexe. Argumentul intermediar este. Prin urmare, mai întâi trebuie să luăm derivatul funcției de putere în raport cu u și să îl înmulțim cu derivatul lui. Deci, cum. apoi, luând în considerare regula pentru diferențierea unei funcții compuse, obținem :. și anume
Derivatul funcției inverse este egal cu derivatul reciproc al acestei funcții:
Fie u funcții inverse reciproce.
Teorema 6.6 Dacă funcția este strict monotonă în intervalul și este inegal la zero, derivatul în orice punct al acestui interval, atunci inversa ei are, de asemenea, un derivat cu punctul corespunzător determinat de ecuația sau.
Exemplu Găsiți derivatul unei funcții.
Soluția. Folosind regula pentru diferențierea funcției inverse, găsim. Funcția inversă are un derivat. În consecință ,.
Definiția. Dacă funcția este dată de o ecuație. permis relativ. atunci funcția este dată în formă explicită (o funcție explicită).
Definiție Funcția implicită a unui argument este dată de o ecuație care conectează două variabile și ecuația nu este rezolvată cu privire la nici una din ele: sau.
Definiția. O ecuație care conectează trei variabile definește o funcție implicită a 2 argumente. . sau. sau.
Nu este întotdeauna ușor și uneori imposibil să rezolvăm ecuația cu privire la (de exemplu, sau).
Dacă funcția implicită este dată de o ecuație. atunci pentru a găsi derivatul lui a, nu este necesar să rezolvăm ecuația cu privire la. Este necesar să se diferențieze această ecuație de la. considerând astfel ca funcție. iar ecuația rezultată este rezolvată relativ.
Exemplu Găsiți derivatul unei funcții. dat de ecuația :.
Soluția. Funcția este implicită. Diferențăm ecuația față de. amintindu-mi asta. . Atunci găsim :.
Să luăm în considerare diferențierea unei funcții dată parametric.
Fie funcția specificată parametric: unde este variabila auxiliară, numită parametru.
Este necesar să găsim. Să presupunem că are o funcție inversă unică. Diferențăm ecuația față de. ca o funcție complexă, numărând ca un argument intermediar în funcție de. ; . Deci, cum. atunci primim:
Soluția. Prin formula (4), obținem
În unele cazuri, derivatul unei funcții a unei variabile poate fi găsit mult mai simplu dacă funcția este prelogaritmă, o astfel de metodă se numește diferențiere logaritmică.
Logaritmica diferențierii este de obicei aplicată la derivarea derivatului funcției exponențiale de putere și a produsului funcțiilor, adică în acele cazuri în care derivatul nu poate fi găsit prin metode obișnuite sau calculul derivatului este foarte greoi. Desigur, această operațiune poate fi utilizată și în alte cazuri.
Definiția. Funcția. pentru care baza și exponentul sunt funcții de variabile independente, se numește putere exponențială.
Derivații de astfel de funcții se calculează numai prin diferențierea logaritmică.
Exemplu de funcție dată. Find.
Soluția. O funcție logaritmică. avem
Diferențăm ecuația rezultată de la. . Din ultima egalitate găsim:
Luați în considerare funcția. care are un derivat la punctul diferit de zero :. Prin teorema privind conectarea unei funcții, a limitei ei și a unei funcții infinitezimale, putem scrie. unde la. sau. Creșterea unei funcții este suma a doi termeni și. care sunt infinite pentru. Observăm că este o funcție infinitezimală a aceleiași ordini c. așa cum. a este o funcție de ordin mai mare decât. .
Definiția. Termenul este numit partea principală a creșterii funcției.
Definitia Diferenta unei functii la un punct este partea principala a incrementului ei, egala cu produsul derivatului functiei prin cresterea argumentului si este notata cu sau. Observăm asta
Definiția. Un diferențial se numește diferență de ordinul întâi.
Diferența unei variabile independente este egală cu creșterea acestei variabile:
De fapt, din moment ce și. atunci.
Definiție Diferența unei funcții este egală cu produsul derivatului acestei funcții prin diferența dintre variabila independentă:
Deci, cum. atunci raportul dintre diferențiale și.
Exemplu: Găsiți diferențialul unei funcții.
Soluția. Prin formula, găsim:
Exemplu Găsiți incrementul total al unei funcții și al diferenței acesteia, comparați valorile acestora la.
Soluția. Creșterea completă este scrisă ca:
. Conversia acestei expresii :. Prin definiție, găsim diferența totală :. Substituind. primim, și.
Sensul geometric al diferențialului: Diferența unei funcții la un punct este egală cu creșterea ordinii tangentei cu graficul funcției în acest punct, atunci când primește o creștere.
Să explicăm declarația, pentru aceasta luăm în considerare graficul funcției (figura 4).
Desenăm o funcție la punctul tangent la grafic. Luați în considerare ordonanța acestei tangente pentru un punct. rețineți că. a. Luați în considerare un triunghi dreptunghiular. în care. și anume . Din moment ce - sensul geometric al derivatului, atunci. Din formule: și avem asta. Există trei cazuri posibile: și - dacă funcția este constantă.
Sensul mecanic al diferențialului: Diferența de traseu este egală cu creșterea traseului obținut în ipoteza că, pornind de la o anumită clipă de timp. punctul se mișcă uniform, păstrând viteza achiziționată.
Să considerăm mișcarea neuniformă rectilinie a unui punct, efectuată conform legii. unde este lungimea căii, este timpul. Timpul incremental corespunde valorii incrementale a căii :. Această formulă exprimă adevărata creștere a căii într-o perioadă de timp.
Calculăm diferența de drum. Pentru că - viteza la un moment dat. atunci.
Deoarece derivatul conține un derivat, regulile de calcul utilizează regulile pentru calcularea derivatului:
1) Dacă funcția este constantă. atunci diferența este zero; .
2) Diferența funcției este egală cu creșterea acestei funcții: (diferența variabilei independente coincide cu creșterea acesteia).
3) Diferențial al sumei :.
4) Diferențial al produsului :.
5) Diferențialul coeficientului :.
Teoremă 6.7 Diferența unei funcții compuse este egală cu produsul derivatului acestei funcții în raport cu argumentul intermediar prin diferența dintre acest argument intermediar:
Definiția. și - forma diferențialului nu sa schimbat, indiferent dacă argumentul său este o variabilă independentă sau o funcție a unui argument. Această proprietate a diferențialului se numește invarianța (invarianța) a formei primului diferențial.
Lasă-l să fie. Există câteva funcții continue ale argumentului x.
Trimiteți-le prietenilor: