Arabă Bulgară Chineză Croată Cehă Daneză Olandeză Engleză Estoniană Finlandeză Franceză Germană Greacă Hindi Indonezian Islandeză Italiană Japoneză Letonă Lituaniană malgașă Norvegiană Persană Poloneză Portugheză Română Rusă Sârbă Slovacă Slovenă Spaniolă Thai Turcă Vietnameză suedeză
Arabă Bulgară Chineză Croată Cehă Daneză Olandeză Engleză Estoniană Finlandeză Franceză Germană Greacă Hindi Indonezian Islandeză Italiană Japoneză Letonă Lituaniană malgașă Norvegiană Persană Poloneză Portugheză Română Rusă Sârbă Slovacă Slovenă Spaniolă Thai Turcă Vietnameză suedeză
definiție - MATHEMATICĂ ROTOR
Din Wikipedia, enciclopedia gratuită
Rotor. sau un vortex este un operator diferențial vector pe un câmp vectorial. Afișează cât de mult și în ce direcție se întoarce câmpul la fiecare punct. rotor câmp F este notat cu putregai F (în literatura rusă) sau ondularea F (în literatura engleză), și unde - un operator nabla diferential vector.
Definiție matematică
? Rotorul unui câmp vectorial - vector a cărui proiecție în fiecare direcție este egală cu limita de raportul de circulație a unui câmp vectorial pe suprafața plană a conturului L S, perpendicular pe această direcție, la valoarea acestui domeniu, atunci când dimensiunea zonei tinde la zero, iar site-ul se reduce la un punct:
[Formula de latex care nu poate fi dizolvată sau potențial periculoasă. Eroare 2].
Reglajul normal al locului este direcționat astfel încât atunci când se calculează circulația, traversarea conturului L este efectuată în sens invers acelor de ceasornic.
Într-un sistem tridimensional de coordonate carteziene, se calculează după cum urmează:
[Formula de latex care nu poate fi dizolvată sau potențial periculoasă. Eroare 2]
Pentru comoditatea memoriei, este posibilă reprezentarea condiționată a rotorului ca produs vectorial:
[Formula de latex care nu poate fi dizolvată sau potențial periculoasă. Eroare 2]
Un câmp vector al cărui rotor este zero la orice punct se numește câmp potențial (irrotational).
Interpretare fizică
Prin teorema lui Cauchy-Helmholtz, distribuția vitezei unui mediu continuu în apropierea punctului O este dată de
unde vectorul de rotație unghiulară a elementului mediului în punctul O și a este forma patrată a coordonatelor este potențialul de deformare al elementului mediului.
Astfel, mișcarea mediul continuu în apropierea punctul O este compus din mișcare de translație (vector), o mișcare de rotație (vector) și potențial mișcarea - tulpină (vector) .Primenyaya pentru operarea cu formula rotor Cauchy-Helmholtz, observăm că egalitatea punctul O [Unparseable sau formula de latex potențial periculoasă. Error 2] și, prin urmare, este posibil să se concluzioneze că, atunci când este vorba de câmpul vectorial este un domeniu de o viteză medie, rotorul acestui câmp vectorial la un punct dat este egal cu dublul rotația unghiulară a elementului cu centrul mediului în acest moment.
De exemplu, dacă luăm ca câmp vector câmpul vitezei vântului pe Pământ, atunci în emisfera nordică pentru un anticiclon rotativ în sensul acelor de ceasornic. Rotorul va indica în jos, iar pentru ciclon, rotindu-se în sens invers acelor de ceasornic - în sus. În acele locuri unde vântul suflă drept și la aceeași viteză, rotorul va fi egal cu zero (pentru un debit rectiliniu neomogen, rotorul este nenul).
Proprietăți de bază
Următoarele proprietăți pot fi obținute din regulile obișnuite de diferențiere.
- Liniaritatea:
- Dacă este un câmp scalar și F este un câmp vectorial, atunci:
- Diferența rotorului este zero:
Reversul este, de asemenea, adevărat: dacă câmpul F nu este divergent, este câmpul vortex al câmpului G (potențial vectorial):
[Formula de latex care nu poate fi dizolvată sau potențial periculoasă. Eroare 2]- Dacă câmpul F este potențial, rotorul său este zero (câmpul F este irrotational):
Reversul este de asemenea adevărat: dacă câmpul este irrotational, atunci acesta este potențial:
[Formula de latex care nu poate fi dizolvată sau potențial periculoasă. Eroare 2]
pentru un câmp scalar
- Teorema lui Stokes. circulația unui vector de-a lungul unui contur închis care este limita unei anumite suprafețe este egală cu fluxul rotorului acestui vector prin această suprafață:
Rotor în coordonate ortogonale curbilinare
[Formula de latex care nu poate fi dizolvată sau potențial periculoasă. Eroare 2]
Un câmp simplu vector
Luați în considerare un câmp vectorial. liniar în funcție de coordonatele x și y:
.
Evident, câmpul este răsucite. Dacă așezăm o roată cu lame în orice zonă a câmpului, vom vedea că acesta începe să se rotească în sensul acelor de ceasornic. Folosind regula dreptei. vă puteți aștepta să înșurubați câmpul în pagină. Pentru sistemul de coordonate corect, direcția spre pagină va indica o direcție negativă de-a lungul axei z.
După cum sa sugerat, direcția a coincis cu direcția negativă a axei z. În acest caz, rotorul este o constantă, deoarece este independent de coordonat. Cantitatea de rotație din câmpul vectorial de mai sus este aceeași în orice punct (x, y). Graficul rotorului F nu este foarte interesant:
Fișier: Curl of uniform curl.JPG
Un exemplu mai complex
Acum, luați în considerare un câmp vectorial oarecum mai complicat:
.
Nu putem vedea rotație, dar după ce ne uităm mai aproape spre dreapta, vedem un câmp mai mare, de exemplu, punctul x = 4 decât la punctul x = 3. Dacă am instalat o roată mică cu lame acolo, un flux mai mare pe partea dreaptă ar determina rotirea să se rotească în sensul acelor de ceasornic, ceea ce corespunde înșurubării în direcția -z. Dacă am plasat roata în partea stângă a câmpului, fluxul mai mare din partea stângă ar determina rotirea să se rotească în sens invers acelor de ceasornic, ceea ce corespunde înșurubării în direcția + z. Să verificăm estimarea noastră prin calcularea:
Într-adevăr, înșurubarea are loc în direcția + z pentru negativul x și -z pentru poziția x. cum era de așteptat. Deoarece acest rotor nu este același la fiecare punct, graficul său pare puțin mai interesant:
Fișier: Curl of nonuniform curl.JPG
Rotorul F cu un plan x = 0, evidențiat în culoarea albastru închis
Puteți observa că graficul acestui rotor nu depinde de y sau z (așa cum ar trebui să fie) și este direcționat în -z pentru poziția x și în direcția + z pentru negativul x.
Trei exemple generale
Luați în considerare exemplul ∇ × [v × F]. Folosind un sistem de coordonate dreptunghiular, se poate demonstra că
Dacă schimbul v și ∇:
care este o înregistrare Feynman cu un indice ∇F. ceea ce înseamnă că gradientul cu indexul F se referă numai la F.
Un alt exemplu este ∇ × [∇ × F]. Folosind un sistem de coordonate dreptunghiular, putem arăta că:
care poate fi privit ca un caz special al primului exemplu cu substituția v → ∇.
Exemple explicative
- În vânturile de tornadă se rotesc în jurul centrului, iar câmpul vectorial al vitezei vântului are un rotor nenăscut peste tot. (vezi mișcarea Vortex).
- Într-un câmp vector care descrie vitezele liniare ale fiecărui punct al unui disc rotativ, rotorul ar fi constant în toate părțile discului.
- Dacă viteza autoturismelor de pe pistă a fost descrisă de un câmp vectorial și benzile diferite au limite de viteză diferite, rotorul de la limita dintre benzi ar fi nenulos.
- Legea lui Faraday de inducție electromagnetică. una dintre ecuațiile lui Maxwell. poate fi exprimată foarte simplu prin conceptul rotorului. El spune că rotorul câmpului electric este egală cu rata de schimbare a câmpului magnetic cu semn opus, iar rotorul intensitatea câmpului magnetic este suma densități de curent și normal de curent prejudecată.
notițe
- ↑ Dicționarul matematic al învățământului superior. VT Vodnev, AF Naumovici, NF Naumovici
Articole similare
-
Definirea circulară a circumferinței și a sinonimelor circumferinței (rusă)
-
Spermatozoon definirea spermei și a sinonimelor spermei (rusă)
Trimiteți-le prietenilor: