În sistemul mecanic clasic, care efectuează mișcări periodice cu perioada T și depinde de parametrul λ, adiabaticitatea modificării parametrilor este determinată de condiția
Hamiltonianul unui sistem depinde de variabilele sale interne și de parametru
Variabilele interne q și p variază în timp rapid, cu o perioadă de T. Dar energia sistemului E este integralitatea mișcării cu parametrul constant λ. Când parametrul este modificat în timp
Prin medierea acestei expresii în timp în timpul unei perioade, putem presupune că parametrul λ este neschimbat.
unde medierea este definită ca
Este convenabil să treci de la integrare în timp până la integrarea peste variabila q:
În acest caz, perioada T este egală cu
unde integrarea este efectuată înainte și înapoi în limitele schimbării coordonatelor în perioada de mișcare.
Scrierea impulsului ca funcție a energiei E, a coordonatei q și a parametrului, după unele transformări pe care le putem obține
În cele din urmă, puteți scrie
și va fi invariabil adiabatic.
Integralul. care intră în expresia rezultantă, dobândește o semnificație geometrică simplă dacă se îndreaptă spre conceptul de spațiu de fază și traiectoria de fază a sistemului în el. În cazul în cauză, sistemul are un grad de libertate. prin urmare, spațiul de fază este un plan de fază. formată dintr-un set de puncte cu coordonatele p și q. Deoarece sistemul efectuează mișcări periodice, traiectoria de fază [2] este o curbă închisă pe acest plan, respectiv integralul este luat de-a lungul acestei curbe închise. Drept rezultat, integrala ∮ p d q este egală cu aria figurului delimitată de traiectoria de fază a sistemului.
Zona poate fi exprimată și sub forma unui integral bidimensional, apoi pentru invarianta adiabatică,
Un exemplu. Armonic Oscilator
Să considerăm, de exemplu, un oscilator armonic unidimensional. Funcția hamiltoniană a unui astfel de oscilator are forma
unde ω este frecvența eigen (ciclică) a oscilatorului. Ecuația traiectoriei de fază în acest caz este determinată de legea de conservare a energiei H (p. Q) = E și are prin urmare forma
Se vede din ecuație că traiectoria este o elipsă cu semiaxuri 2 m E >> și 2 E / m ω 2 >>>. în consecință, aria sa împărțită la 2 π. este egal cu E ω >>. Astfel, cantitatea I = E ω >> este un invariabil adiabatic pentru un oscilator armonic. Rezultă că în acele cazuri în care parametrii oscilatorului variază lent, energia sa variază proporțional cu frecvența.
Proprietățile invariante adiabatice
Derivatul invariantei energiei adiabatice este egal cu perioada împărțită la 2π.
unde ω este frecvența ciclică.
Cu ajutorul transformărilor canonice, se poate face o invariantă adiabatică a unei noi variabile, numită variabila de acțiune. În noul sistem de variabile, acesta joacă rolul unui impuls. O variabilă conjugată canonic este numită variabilă unghiulară.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: