Există diferite construcții ale teoriei numerelor reale:
- axiomatic, cu ajutorul secțiunilor din setul de numere raționale,
- pe baza fracțiunilor zecimale infinite.
Luați în considerare metoda de construcție axiomatic, în care setul de numere reale este definit în general ca o multitudine de elemente cu unele operații și relații: operațiunile de proprietăți și relații sunt stabilite axiome, împărțite în patru grupe. Primul grup include axioma plus secundar - axiomele multiplicatoare, a treia - axiomele ordine în a patra - axioma feței superioare.
Definiție: Setul de elemente \ (x, y, z. \) Se numește setul \ (
\) de numere reale (sau reale). dacă sunt stabilite următoarele operații și relațiile 1-4 pentru aceste elemente.
1. Funcția de adunare: pentru orice elemente \ (x, y \ în R \) este asociat un element \ (s \ în R, \) numit suma lor și notat cu \ (x + y \), astfel încât condițiile :
1.1. Pentru orice \ (x, y \ în R \) $$ x + y = y + x $$ este comutativă a operației de adăugare.
1.2. Pentru orice \ (x, y, z \ in R \) $$ (x + y) + z = x + (y + z) $ is asociativitatea operației de adiție.
Axiom 1.2 permite scrierea fără paranteze suma de numărare \ (x + y + z = (x + y) + z = x + (y + z). \) Datorită axiomă 1.1 indiferentă, de asemenea, ordinea elementelor de înregistrare.
1.3. Există un element \ (\ Nu \ în R \), astfel încât pentru orice \ (x \ in R \) $$ x + \ = x Nu. $$ elementul \ (\ Nu \) se numește zero.
1.4. Pentru orice element \ (x \ în R \) există un element \ (g \) astfel încât $$ x + g = \ Nu. $$ elementul \ (g \), numit opus \ (x \).
Elementele \ (x \) și \ (y \) din suma \ (x + y \) se numesc summands.
2. Funcționarea multiplicării: pentru orice elemente \ (x, y \ în R \) este asociat un element \ (p \ în R \), numit produsul lor și notat cu \ (x \ cdot y \ \)), astfel încât să fie îndeplinite următoarele condiții:
2.1. Pentru orice \ (x, y \ in R \) $$ x y = y x $$ este comutativitatea operatiei de multiplicare.
2.2. Pentru orice \ (x, y, z \ in R \) $$ (x y) z = x (y z) $$ este asociativitatea operației de multiplicare.
Axiom 2.2 ne permite să presupunem că expresia \ (xy z \) are un singur sens.
2.3. Există un element \ (e \ în R \) astfel încât pentru orice \ (x \ în R \) $$ x \ cdot e = x. $$ Elementul \ (e \) este numit elementul de identitate.
2.4. Pentru orice element \ (x \), cu excepția \ (\ nu \), în \ (R \) există un element \ (r \ în R \) astfel încât $$ xr = e. $$ Element \ se numește inversul lui \ (x \).
2.5. Pentru orice \ (x, y, z \ în R \) egalitate $$ x (y + z) = x y + xz $$ (înmulțirea distributivitatii peste operație adăugare).
Elementele \ (x \) și \ (y \) din produs \ (xy \) se numesc multiplicatori.
3. Relația de ordine: pentru orice elemente ale lui \ (x, y \ in R \) se păstrează următoarele relații: fie \ (x \ leq y \) (\ (x \) este mai mică sau egală cu \ (y \)) \ leq x \) sau ambele cu următoarele proprietăți:
3.1. \ (x \ leq x \) pentru fiecare \ (x \); din \ (
y \ leq x \) urmărește $$ x = y $$.
3.3. De la \ (x \ leq y \) pentru orice \ (z \ in R \) rezultă că \ (x + z \ leq y + z \).
Raportul \ (x \ leq y \) este de asemenea scris ca \ (y \ geq x \) (\ (y \) este mai mare sau egal cu \ (x \)). Raportul \ (x \ leq y \) pentru \ (x \ neq y \) poate fi scris în forma \ (
\ (y \) este mai mică decât \ (y \)) sau \ (y> x \) (\ (y \) este mai mare decât \ (x \)).
4. Limita superioară a setului. Se spune că un set \ (M \ subset R \) este limitat mai sus dacă există un element \
\) pentru fiecare \ (x \ în M \); această relație este scrisă în forma \ (M \ leq \ eta \). Fiecare element \ (\ eta \) care are proprietatea de mai sus cu privire la set se numește limita superioară a setului \ (M \). Supremum \ (\ overline \) este numit cel mai puțin limita superioară a setului \ (M \), în cazul în care orice alt supremum \ (\ eta \) set \ (M \) este mai mare sau egal cu \ (\ overline \). Cea mai mică limită superioară a setului \ (M \) este notată cu \ (
M \) (din latină \ (supremum \) - mai mare).
4.1. Axiomul feței superioare. Orice limită de mai sus set \ (M \ subset R \) are o limită superioară exactă.
SECȚIUNI DE MATEMATICĂ SUPERIOARĂ
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: