ABCD cvadrilateral descris mai sus și cercul său circumscris
Cvadrilaterul de mai sus este un patrulater convex. continuările tuturor celor patru laturi sunt tangente la cerc (în afara patrulaterului) [1]. Un cerc este numit contur. Centrul cercului circumscris se află la intersecția a șase bisectori. Aceasta este bisectoarea dintre cele două unghiuri interioare opuse ale unui unghiuri patrulatere bisectoarea unghiurilor exterioare ale celorlalte două vârfuri, și Bisectoarele externe ale unghiurilor de la punctele de intersecție ale extensiilor de laturi opuse (vezi imaginea de pe partea dreaptă, sa referit la continuarea părților a avut loc o linie punctată). patrulater Ex-tangențial în strânsă legătură cu cele descrise de patrulater (ale cărui patru laturi sunt tangente la un cerc).
Deltoidele sunt un exemplu de quadrangles care nu sunt descrise. Paralelograme (care includ pătrate. Diamante și dreptunghiuri) pot fi considerate ex tangential patrulater cu excircle rază infinită deoarece acestea îndeplinesc proprietățile descrise mai jos, dar vneopisannaya circumferința nu poate atinge muchiile celor două perechi de extensii (datorită paralelismului lor) [2]. Cvadrangulele convexe a căror lungime a laturilor formează o evoluție aritmetică. nu sunt întotdeauna descrise, deoarece satisfac condițiile descrise mai jos pentru laturile adiacente.
Un patrulater convex nu este descris dacă și numai dacă. atunci când există șase bisectori intersectori la un punct. Acest bisector două colțuri interioare ale patrulater unghiurile opuse bisectoarea colțurile exterioare și alte două vârfuri bisectoarea colțuri exterioare la punctele de intersecție ale extinderile laturi opuse [2].
În ceea ce privește calcul mai proprietate util ca un patrulater convex cu laturile a, b, c, d este vneopisannym dacă și numai dacă suma a două laturi adiacente este egală cu suma celorlalte două laturi. Acest lucru este posibil în două cazuri - fie
Proprietatea a fost dovedită de Jacob Steiner în 1846 [3]. In primul caz excircle este de cea mai mare dintre unghiurile la nodurile A sau C. întrucât, în al doilea caz cercul se află pe latura mare a unghiurilor la nodurile B și D. Acolo secundare ABCD patrulater sunt o lungime = AB. b = BC. c = CD și d = DA. Combinând cele două egalități obținute, constatăm că valorile absolute ale diferențelor dintre laturile opuse sunt egale [2],
Această ecuație este strâns legată de teorema lui Pitot pentru quadrilateralele descrise. pe care sumele de laturi opuse sunt egale.
Teorema lui Urquhart
Dacă părțile opuse ale ABCD convex quadrilateral se intersectează la punctele E și F. atunci
Ieșire de la stânga la dreapta este numit dupa LM Urquhart (1902-1966), deși dovedit în fața lui Augustus de Morgan în 1841. Daniel Pedoe (Daniel Pedoe) a numit această afirmație teorema cea mai elementară a geometriei euclidane. deoarece se ocupă numai cu direcțiile și distanțele [4]. Echivalența a fost dovedită de Mowaffac Hajja [4]. care a făcut egalitatea în dreapta o altă condiție necesară și suficientă pentru ca patrulaterul să nu fie descris.
Comparație cu quadrilateralul descris
Mai mulți parametri descriși patrulatere (coloana din stânga a tabelului) sunt foarte asemănătoare cu chetyrohugoolnikov vneopisannogo gemene (mijloc și coloana din dreapta a tabelului), așa cum se poate observa în tabelul următor [2]. Astfel, un patrulater convex inscris sau cerc in jurul nodurilor este descris respective (în funcție de coloană), dacă și numai atunci când oricare dintre cele cinci condiții.
Bug-in-uri în afara A sau C
Scrise în afara B sau D
Trimiteți-le prietenilor: