Calculele aritmeticii medii pot fi greoaie dacă variantele (valorile caracteristice) și greutățile au valori foarte mari sau foarte mici și procesul de calcul în sine este dificil. Apoi pentru simplitatea contului se utilizează un număr de proprietăți ale mediei aritmetice:
1) dacă reducem (mărim) toate variantele la un număr arbitrar A. atunci noua medie scade (crește) cu același număr A, adică se modifică cu ± A;
2) în cazul în care reduc toate variantele (valoare caracteristică) în același număr de ori (K), atunci media va scădea cu același factor, în timp ce creșterea în (K) din nou - pentru a crește () K ori;
3) dacă reducem sau mărim greutățile (frecvențele) tuturor variantelor cu un număr constant A, atunci media aritmetică nu se schimbă;
4) suma deviațiilor tuturor opțiunilor din media totală este zero.
Aceste proprietăți permit aritmetică, dacă este necesar pentru simplificarea calculelor prin înlocuirea frecvențelor relative absolute, pentru a reduce variațiile (valoare caracteristică) pentru orice număr de tăiere A. K ori și se calculează media aritmetică a opțiunii miniatură, și apoi trece la mijlocul seriei originale.
Metoda de calcul al mediei aritmetice folosind proprietățile sale este cunoscută în statistici ca o "metodă de zero condiționată". sau "media condiționată". sau ca un "mod de momente".
Pe scurt, această metodă poate fi scrisă sub formă de formulă
.
Dacă variantele reduse (valorile caracteristice), denotă cu. atunci formula de mai sus poate fi rescrisă în formă.
Atunci când se folosește formula pentru a simplifica calculul intervalului mediu intervalelor ponderate aritmetic în determinarea valorii oricărui număr A, se utilizează astfel de metode de determinare a acestuia.
Valoarea lui A este egală cu:
1) prima valoare a valorii medii a intervalului (continuăm cu exemplul unei probleme în care un milion de dolari.
Calculul mediei versiunii reduse
Valoarea medie a intervalului
,
;
2) să ia o valoare A egală cu valoarea medie a intervalului de frecvență maximă de repetiție, în acest caz, atunci când A = 3,5 (f = 30), valoarea mediană sau variante sau majoritatea exemplelor de realizare (în acest caz, cea mai mare valoare a caracteristicii X = 6.5 ) și împărțit la dimensiunea intervalului (în acest exemplu 1).
Calculul mediei la A = 3,5, f = 30, K = 1 pe același exemplu.
Calcularea metodei momentului mediu
; ; ;
Metoda momentelor, zero condiționată sau media condiționată constă în faptul că, cu o metodă redusă de calcul a mediei aritmetice, alegem un moment astfel încât în rândul nou să fie una dintre valorile caracteristicilor. că este, ne egal și deci alege valoarea de A și K.
Trebuie avut în vedere că dacă (X - A). K unde K - este egală cu valoarea intervalului, noile variante derivate formează un număr de serii egale interval de numere naturale (1, 2, 3, etc ...) de pozitive și negative în jos în sus de la zero. Media aritmetică a acestor noi variante este numită moment de prim ordin și este exprimată prin formula
.
Pentru a determina valoarea mediei aritmetice, valoarea cuplului necesar pentru un prim ordin se înmulțește cu valoarea intervalului (K), care împart toate variantele de realizare, și se adaugă la rezultate opțiunile pentru valoarea produsului (A), care se scade.
;
Astfel, prin momente sau zero condiționate, se calculează media aritmetică a seriilor variate, dacă seria este egal cu intervalul, este mult mai ușor.
Moda - este valoarea caracteristică (variantă), repetată cel mai adesea în populația studiată.
Pentru seriile discrete de distribuție, modul va fi valoarea variantelor cu cea mai mare frecvență.
Un exemplu. La stabilirea planului pentru producția de încălțăminte pentru bărbați, fabrica a făcut un studiu al cererii clienților în baza rezultatelor vânzării. Distribuția încălțămintei vândute a fost caracterizată de următorii indicatori:
Cea mai mare cerere a fost pentru pantofi de 41 de dimensiuni și a reprezentat 30% din cantitatea vândută. În această serie, distribuția M0 = 41.
Pentru serii de intervale de distribuție cu intervale egale, modul este determinat de formula
.
Mai întâi, este necesar să se găsească intervalul în care este localizat modulul, adică intervalul modal.
În seria variantă cu intervale egale, intervalul modal este determinat de cea mai mare frecvență, în rânduri cu intervale inegale, de cea mai mare densitate de distribuție, unde: - limita inferioară a intervalului care conține modul; - frecvența intervalului modal; - frecvența intervalului care precede modalul, adică pre-modalitatea; - frecvența intervalului care urmează modului, adică postmodal.
Un exemplu de calcul al unui mod într-o serie de intervale
Grupuri de întreprinderi cu privire la numărul de angajați, oameni.
Se dă gruparea întreprinderilor după numărul de personal industrial-pro-apă. Găsiți moda. În sarcina noastră, cel mai mare număr de întreprinderi (30) are o grupare cu un număr de angajați care variază între 400 și 500 de persoane. Prin urmare, acest interval este intervalul modal al seriei de propagare cu intervale egale. Introducem următoarea notație:
; ; ; ; .
Înlocuiți aceste valori în formula pentru calcularea modului și calculați:
Astfel, am determinat valoarea valorii modale a trăsăturii cuprinse în acest interval (400-500), adică M0 = 467 de persoane.
În multe cazuri, în caracterizarea populației, moda este preferată ca indicator generalizator. mai degrabă decât media aritmetică. Astfel, atunci când se studiază prețurile pe piață, prețul mediu pentru anumite produse este fixat și studiat în dinamică și prețul modal. Atunci când se studiază cererea populației pentru o anumită dimensiune a încălțămintei sau a îmbrăcămintei, este interesant să se determine numărul modal, și nu dimensiunea medie, care nu contează deloc. Dacă aritmetica medie este apropiată de modul, atunci este tipic.
OBIECTIVE PENTRU SOLUȚIONARE
La stația de semințe, la determinarea calității semințelor de grâu, s-a obținut următoarea determinare a semințelor pentru procentul de germinare:
La înregistrarea prețurilor în timpul orelor cele mai pline de comerț, au fost înregistrate următoarele vânzări reale (pentru $ pe kg) pentru vânzătorii individuali:
Cartofi: 0,2; 0,12; 0,12; 0,15; 0,2; 0,2; 0,2; 0,15; 0,15; 0,15; 0,15; 0,12; 0,12; 0,12; 0.15.
Carne de vită: 2; 2.5; 2; 2; 1.8; 1.8; 2; 2.2; 2.5; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 2.2; 2; 2; 2; 2.
Care sunt prețurile pentru cartofi și carne de vită modal?
Există date despre salariile a 16 lacăte de atelier. Găsiți salariul modal.
În dolari: 118; 120; 124; 126; 130; 130; 130; 130; 132; 135; 138; 140; 140; 140; 142; 142.
Mediana statistică se numește varianta, situată în mijlocul seriei variate. În cazul în care un număr discret de distribuție are un număr impar de termeni, mediana este nici o opțiune, situată în seria clasat-mediu, adică, suma frecvențelor se adaugă 1 și toate împărțit la 2 - .. Rezultatul și să dea numărul de serie al medianei.
Dacă în seria variantă un număr par va fi o opțiune, atunci valoarea mediană va fi jumătate din suma celor două opțiuni de mijloc.
Pentru a găsi mediana în seria variantă de interval, determinăm mai întâi intervalul median pe frecvențele acumulate. Un astfel de interval va fi astfel încât frecvența cumulată (acumulată) să fie egală sau să depășească jumătate din suma frecvențelor. Frecvențele acumulate se formează prin însumarea treptată a frecvențelor, pornind de la intervalul cu cea mai mică valoare a caracteristicilor.
Calculul medianului în seria variabilă a intervalului
Frecvențe cumulate (acumulate)
Jumătate din suma frecvențelor acumulate în exemplu este de 250 (500.2). Prin urmare, intervalul median este intervalul cu valoarea caracteristicii 100-110.
Înainte de acest interval, suma frecvențelor acumulate a fost de 150. Prin urmare, pentru a obține valoarea mediană, este necesar să adăugăm încă 100 de unități (250-150). Atunci când se determină valoarea mediană, se presupune că valoarea caracteristicii din interval este uniform distribuită. Prin urmare, dacă cele 145 de unități din acest interval sunt distribuite uniform în interval, este de 10, atunci 100 de unități vor corespunde valorii:
10. 145 '100 = 6,9.
Adăugând valoarea obținută la limita minimă a intervalului median, obținem valoarea dorită a medianei:
.
Sau mediana în intervalul variațional poate fi calculată prin formula:
,
unde este valoarea limitei inferioare a intervalului median (); - valoarea intervalului median (= 10); - suma frecvențelor seriei (numărul seriilor este de 500); - suma frecvențelor acumulate în intervalul precedent median (= 150); - frecvența intervalului median (= 145).
Înlocuiți valorile din formula și obțineți:
.
OBIECTIVE PENTRU SOLUȚIONARE
Determinați valoarea mediană pentru următoarele date:
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: