5.9. Criteriul Cauchy
În acest moment, având în vedere succesiunea criteriilor de convergență, adică. E. Criteriul existenței are o limită finită, în ceea ce privește doar membrilor secvenței, cu alte cuvinte, fără implicarea valorii limită.
(Termenul "criteriu" este folosit aici în sensul unei "condiții necesare și suficiente").
Definiția 11. O secvență numerică xn>, n = 1, 2 este numită o secvență fundamentală. dacă îndeplinește următoarea condiție: pentru orice> 0 există un număr n0. că pentru toate n> n0 și m> n0 inegalitatea
Această condiție este numită condiția Cauchy. Acesta poate fi scris într-o formă ușor diferită: pentru orice> 0 există un număr n0. că pentru toate n> n0 și toate întregi p> 0 inegalitatea
Pentru a verifica echivalența acestor afirmații, este suficient să se constate că din cele două numere m și n este întotdeauna mai mult decât altul, de exemplu, m> n. și apoi, punând p = m - n. procedăm din scrierea (5.73) la notație (5.72).
Să arătăm mai multe lemme pe secvențe fundamentale.
Lemma 2. Dacă secvența are o limită finită. atunci este fundamental.
Într-adevăr, dacă secvența xn> converge și a este limita ei: = a. atunci prin definirea limitei pentru orice> 0 există un număr n0. că pentru toate n> n0 inegalitatea
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: