a) masa unei plăci plate cu densitate variabilă.
Să considerăm o placă subțire dispus pe o suprafață plană-Oxi și os care ocupă regiunea D. Grosimea acestei plăci este considerată atât de mică încât variația de densitate în grosime poate fi neglijată.
Densitatea de suprafață a unei astfel de plăci la un anumit punct este limita raportului dintre masa sitului și suprafața sa, cu condiția ca locul să fie contractat la un punct dat.
Densitatea de suprafață determinată în acest fel va depinde numai de poziția punctului dat, adică este o funcție a coordonatelor sale:
Dacă densitatea ar fi constantă (), atunci masa plăcii întregi ar fi egală, unde S este aria plăcii. Acum găsim masa plăcii neomogene, presupunând că densitatea ei este o funcție dată. Pentru a face acest lucru, împărțim zona ocupată de placă în zone parțiale cu zone (Figura 16). Dacă alegem un punct arbitrar în fiecare regiune parțială, presupunem că densitatea în toate punctele din regiunea parțială este constantă și egală cu densitatea punctului selectat. Să formăm o expresie aproximativă pentru masa plăcii ca sumă integrală
(*)
Pentru exprimarea exactă a masei, este necesar să se găsească limita sumei (*) în condiție și fiecare domeniu parțial contracte la un punct. atunci
b) momente statice și centrul de greutate al plăcii.
Să trecem acum la calculul momentelor statice ale plăcii în cauză în raport cu axele de coordonate. În acest scop, ne concentrăm asupra punctelor de masă ale regiunilor parțiale corespunzătoare și găsim momentele statice ale sistemului rezultant al punctelor materiale:
Trecerea la limită în condiții obișnuite și înlocuirea sumelor integrale de către integrale obținem
Găsiți coordonatele centrului de greutate:
Dacă placa este uniformă, adică apoi formulele sunt simplificate:
unde S este zona plăcii.
c) Momente de inerție a plăcii.
Momentul de inerție al unui punct material P cu masa m față de o axă este rezultatul masei pe pătrat din distanța punctului P din această axă.
Metoda de construire a expresiilor pentru momentele de inerție a plăcii față de axele de coordonate este exact aceeași cu cea pe care am folosit-o pentru a calcula momentele statice. Să ne dăm deci doar rezultatele finale, presupunând că:
De asemenea, observăm că integramentul este numit momentul centrifugal de inerție; este notat.
În mecanică se consideră adesea momentul polar al inerției unui punct, egal cu produsul masei unui punct de către pătratul distanței sale față de un pol de puncte dat. Momentul polar al inerției plăcii față de origine este egal cu
4. Calcularea suprafețelor și a volumelor utilizând integrale duble.
După cum știm, volumul V al corpului, suprafață limitată TION, în care: - un non-negativ funcția-TION, ploskostyui suprafață cilindrică direcția de-guvernare care serveste drept limita D, și care formează axa paralelă cu Oz, egală cu dublul integralei funktsiipo Regiune D:
Exemplul 1. Calculați volumul corpului delimitat de suprafețele x = 0, y = 0, x + y + z = 1, z = 0 (Figura 17).
Soluția. D este umbrit în Fig. 17 este o regiune triunghiulară în planul Oxy mărginită de liniile drepte x = 0, y = 0, x + y = 1. Stabilind limitele în integrala dublă, calculăm volumul:
Deci, cubul. unități.
Notă 1. Dacă un organism, care volumul se solicită, restricție Chenoa top suprafață și suprafața inferioară, în care suprafețele de proiecție pe ambele regiuni TPS-skostOhu este D, atunci volumul V al corpului este egală cu diferența dintre volumele două tel „cilindric“; primul dintre aceste corpuri cilindrice are o regiune de bază inferioară D, iar partea de sus - a doua suprafață a corpului are o regiune de bază mai mică, D și superioară - suprafața (fig.18).
Prin urmare, volumul V este egal cu diferența dintre două integrale duble:
Este ușor de demonstrat în continuare că formula (1) este valabil nu numai în cazul în care ineotritsatelny dar apoi kogdai- orice funcție continuă satisface relația
Observație 2. Dacă în domeniul D funcția schimbă semnul, atunci împărțim domeniul în două părți: 1) domeniul D1 unde 2) domeniul D2, unde. Să presupunem că domeniile D1 și D2 sunt astfel încât integralele duble peste aceste domenii există. Atunci integrala peste D1 va fi pozitivă și egală cu volumul corpului care se află deasupra planului Oxy. Integralul deasupra lui D2 va fi negativ și în valoare absolută este egal cu volumul corpului situat sub planul Oxy. Prin urmare, integralul peste D va exprima diferența dintre volumele corespunzătoare.
b) Calculul suprafeței unei suprafețe plane.
Dacă reprezentăm suma integrală pentru o funcție în raport cu domeniul D, atunci această sumă este egală cu aria S,
pentru orice metodă de partiționare. Trecând la limita din partea dreaptă a egalității, obținem
Dacă domeniul D este obișnuit. atunci suprafața este exprimată printr-un integrat dublu
A face integrarea în paranteze, evident că avem
Exemplul 2. Se calculează aria regiunii delimitată de curbe
Soluția. Să determinăm punctele de intersecție ale acestor curbe (Fig.19). La punctul de intersecție, ordonatele sunt egale, adică , prin urmare, am obținut două puncte de intersecție
În consecință, zona solicitată
Trimiteți-le prietenilor: