Formulele de tip quadrature de tip interpolare
Vom lua în considerare formulele pentru calcularea aproximativă a integralelor
unde funcția integrabilă dată (așa-numita funcție de greutate) și o funcție suficient de netedă. Formulele considerate mai jos au forma
unde și numerele ,.
Spre deosebire de secțiunea anterioară nu vom rupe segmentul în segmente parțiale, și de a obține formule de cuadratură prin înlocuirea polinomul interpolarea imediat asupra întregului segment. Formulele obținute în acest fel sunt numite formulele de tip quadrature ale tipului de interpolare. Ca regulă, precizia acestor formule crește cu numărul de noduri de interpolare. Formulele de dreptunghiuri, trapezii și Simpsons considerate în § 3.1 sunt cazuri speciale de formule de tip quadrature de tip interpolare, când. .
Obținem expresii pentru coeficienții formulelor de tip quadrature de tip interpolare. Fie ca nodurile de interpolare să fie date pe interval. . Se presupune că printre aceste noduri nu există coincide, altfel ele pot fi localizate așa cum vă place.
Înlocuim funcția prin polinomul de interpolare Lagrange (vezi Lectura 2, formula (2.4))
Deseori, expresia este scrisă într-o altă formă. Introducem polinomul de grad
și să calculeze derivatul său la punctul:
Atunci vom obține asta
Înlocuind funcția integrală (3.25) cu polinomul de interpolare Lagrange
obținem formula aproximativă (3.26) (pentru a dovedi, Casa nr. 4), unde
Astfel, formula (3.26) este o formulă de tip quadrature de tip de interpolare dacă și numai dacă coeficienții ei sunt calculați de regula (3.28).
Metoda Gauss de calcul al integrali definiți
În secțiunea anterioară sa presupus că nodurile formulelor de cvadratură sunt date în avans. Se poate arăta că dacă folosim noduri de interpolare, obținem formule de cvadratură care sunt exacte pentru polinoamele algebrice de grad. Se pare că datorită alegerii nodurilor este posibil să se obțină formule de cvadratură care vor fi exacte pentru polinomii de grad mai înalt. Luați în considerare următoarea problemă: construiți formula de cvadratură
care pentru un anumit ar fi exact pentru un polinom algebric cât mai mare posibil. Aici, din motive de conveniență, numerotarea nodurilor începe cu.
Astfel de formule de cvadratură există. Se numesc formule Gauss. Aceste formule sunt precise pentru orice polinom algebric de grad.
Astfel, cerem ca formula de cvadratură (3.29) să fie exactă pentru orice polinom algebric de grad. Aceasta este echivalentă cu necesitatea ca formula să fie exactă pentru funcții. . Prin urmare, obținem condiții
care sunt un sistem neliniar de ecuații cu privire la necunoscute
Pentru ca numărul de ecuații să fie egal cu numărul de necunoscute, trebuie să le cerem.
Când se ia în considerare formulele de cvadratură (3.29) de formă generală, introducem polinomul
Vom presupune asta.
Teorema 1. Formula de cvadratură (3.29) este exactă pentru orice polinom de grad dacă și numai dacă sunt îndeplinite două condiții:
1. Un polinom este ortogonal cu greutate la orice polinom de grad mai mic decât. și anume
2. Formula (3.29) este o formulă de tip quadrature de tip de interpolare;
Utilizând Teorema 1 simplifică în esență construcția formulelor Gauss.
Condiția (3.32) este echivalentă cu cerințele
care sunt un sistem de ecuații cu privire la necunoscute. Astfel, pentru a construi formulele Gauss este suficient să găsim nodurile din relațiile ortogonalității (3.34) și apoi să calculam coeficienții conform (3.33).
Considerăm câteva cazuri speciale când soluția sistemului (3.34) poate fi găsită direct.
Lasă-l să fie. . . Când ajungem
(pentru a obține o decizie, casa nr. 4).
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: