Ecuațiile fizicii matematice - Metoda diferențelor finite (metoda grilei)
Ideea metodei diferențelor finite (metoda grilei) a fost cunoscută de mult timp, cu lucrările corespunzătoare ale lui Euler. Cu toate acestea, aplicarea practică a acestei metode a fost foarte limitată din cauza numărului mare de calcule manuale asociate dimensiunii sistemelor rezultate de ecuații algebrice, a căror soluție a necesitat ani. În prezent, odată cu apariția computerelor de mare viteză, situația sa schimbat radical. Această metodă a devenit convenabilă pentru utilizarea practică și este una dintre cele mai eficiente în rezolvarea diferitelor probleme ale fizicii matematice.
Ideea de bază a metodei diferenței finite (metoda grilei) pentru soluția numerică aproximativă a problemei valorii limită pentru o ecuație diferențială parțială bidimensională este aceea că
1), în plan, în zona A în care se solicită soluția oblastAs construcție grilă (1), constând din aceeași dimensiune a ochiurilor s (s - distanța grilă) și fiind o aproximare a zonei A;
2) ecuația diferențială parțială specificată este înlocuită la nodurile de rețea A prin ecuația diferențială finită corespunzătoare;
3) cu acordul condițiilor limită, valorile soluției dorite în nodurile de graniță ale regiunii.
Fig. 1. Construirea zonei de rețea
Rezolvind sistemul rezultant al ecuațiilor algebrice cu diferență finită, obținem valorile funcției necesare la nodurile rețelei As. și anume aproximarea numerică a problemei valorii limită. Alegerea regiunii rețelei Deoarece depinde de problema particulară, trebuie să ne străduim întotdeauna să ne asigurăm că conturul regiunii rețelei se apropie cel mai bine de conturul domeniului A.
Luați în considerare ecuația lui Laplace
unde p (x, y) este funcția necunoscută, x. y sunt coordonatele dreptunghiulare ale domeniului planar și obținem ecuația diferenței finite corespunzătoare acestuia.
Înlocuim derivații parțiali în ecuația (1) prin relații cu diferențe finite:
Apoi, rezolvând ecuația (1) în raport cu p (x, y), obținem:
Prin stabilirea valorii unei funcții p (x. Y) în nodurile de frontieră din zona grilă de Ca circuit în conformitate cu condițiile la limită și rezolvarea sistemului de ecuații rezultat (2) pentru fiecare nod grid, vom obține soluția numerică a problemei valorii limitei (1) într-o regiune A. predeterminată
Este clar că numărul de ecuații ale formulei (2) este egal cu numărul de noduri din regiunea As. și mai multe noduri (adică, cu cât este mai mică grila), cu atât mai puțin eroarea de calcul. Cu toate acestea, trebuie să ne amintim că, pe măsură ce scaderea scade, dimensiunea sistemului de ecuații crește și, în consecință, timpul soluției. Prin urmare, se recomandă efectuarea calculelor de încercare cu un pas suficient de mare s. pentru a estima eroarea primită de la calcule și numai atunci să treacă la o rețea mai mică în întreaga zonă sau în parte.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: