O relație binară este numită o preordonare. dacă este reflexiv și tranzitiv. O relație reflexivă, tranzitivă și antisimetrică pe un set este denumită ordine parțială. Ordinea parțială este adesea indicată prin simbolul £.
Vom scrie dacă x e y y y y. O comandă parțială ξ pe un set se spune că este liniară. dacă pentru orice elemente și y din fie uγ sau y Ε. Un set cu o ordine parțială (liniară) definită pe el se spune că este ordonat parțial (liniar). Exemple de seturi infinit de linii ordonate sunt. Q. R în ceea ce privește "ordinea naturală". Este important de menționat că același set poate fi comandat în moduri diferite. De exemplu, numerele naturale pot fi comandate "într-un mod natural" și se pot ordona toate numerele impare separat și separat toate cele uniforme, număra un număr impar, care precede orice număr par.
Un exemplu de set ordonat parțial dar nu liniar poate fi setul tuturor perechilor de numere întregi pozitivi 2 cu următoarea ordine:<у> £ <>) Û (£, y £). Un exemplu de set parțial comandat este setul tuturor subseturilor dintr-un anumit set X. Comandat prin includerea £ ¢, dacă Í . unde
Un element a unui set parțial comandat se numește maxim. dacă un £ Û a =. și minimal. dacă £ a Û a = Elementul a este numit cel mai mare element. dacă x Î . £ a, și cel mai mic. dacă " Î . și £. Fiecare element cel mai mare este maxim și fiecare element cel mai mic este minim. În mod contrar, în general, nu are loc. De exemplu, într-un set parțial ordonat trivial (adică, în care un £ b Û a = b) fiecare element este atât maxim cât și minim, dar nu cel mai mare și, în consecință, nu cel mai mic. Fața superioară (inferioară) a unui subset dintr-un set parțial comandat este orice element a lui b astfel încât b a a (a b b) pentru orice b Î . Figura superioară superioară (inferioară) a unui subset Í Se numește cea mai mică față superioară (cea mai mare jos). Limita superioară a setului este notată cu (supremum), iar cea mai mică limită este (infimum). Se spune că o ordine liniară pe un set este completă. dacă fiecare subset ne-gol al setului are cel mai mic element. În acest caz, setul se numește complet ordonat.
Fie u un set de comenzi parțiale și să fie o funcțiune în. Dacă "x1 Î . x1 £ x2 => f (x1) £ f (x2), atunci funcția se spune că este monotonă. Dacă f este o corespondență unu-la-unu între u și f și f -1 sunt monotonice, atunci f se numește izomorfismul seturilor parțial ordonate și. iar seturile u sunt considerate a fi izomorfe.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: