Fie ca gradul de subspațiu k să fie egal cu dimensiunea acestui subspațiu. În spațiul rădăcină există un vector e. (pentru a verifica acest lucru, este suficient să reamintim că polinomul minim al subspațiului este egal cu cel mai mic multiplu comun al polinomilor minimali ai vectorilor de bază). Sistemul de vectori este independent de liniaritate și, prin urmare, este o bază. O bază de acest tip se numește ciclică. Spațiul în care este posibilă o bază ciclică se numește un spațiu ciclic. Matricea unei transformări liniare pe o bază ciclică are forma. Într-adevăr, imaginea vectorului de bază. și, prin urmare, pentru i Teorema 1.5. Subspațiul rădăcinii se descompune într-o sumă directă de subspații ciclice a căror dimensiune nu depășește gradul polinomului minim. Executăm dovada prin inducție pe dimensiunea subspațiului rădăcină. Dacă dimensiunea subspațiului rădăcină este 1, atunci teorema este evidentă. Presupunând că teorema este adevărată pentru toate spațiile rădăcinilor de dimensiuni de cel mult n -1, vom arăta validitatea ei pentru un spațiu rădăcină n-dimensional. unde k este gradul polinomului minim de anihilare. Dacă k = n. atunci teorema este adevărată (întregul spațiu este ciclic). Să presupunem că k
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: