Orice cod ciclic (n, k) poate fi specificat în conformitate cu definiția 2, generând un polinom g (x) sau un polinom de verificare.
Cunoașterea acestor polinoame ne permite să construim o matrice generatoare și o matrice de verificări. Pentru un cod ciclic (n, k), există un mod simplu de a găsi k cuvinte de codare independente liniar care formează o matrice generatoare. Această metodă constă în următoarele. Generatorul polinomului g (x) este scris. În conformitate cu definiția 2, combinația corespunzătoare polinomului generator aparține codului ciclic (n, k). În conformitate cu definiția 1, schimbările ciclice ale combinației corespunzătoare g (x). trebuie, de asemenea, să aparțină aceluiași cod. Algebric, schimbarea corespunde multiplicării combinației de coduri cu x. Deoarece gradul g (x) este egal cu n-k. În acest fel, putem obține combinații de coduri
Este ușor de verificat dacă aceste combinații de coduri sunt independente liniar, numai dacă gradele tuturor acestor polinoame sunt diferite, prin urmare acest set de polinoame poate fi folosit ca:
Prin transformări elementare, această matrice poate fi redusă la forma canonică.
În mod similar, folosind polinomul de testare, putem construi o matrice de verificare
Exemplul 6.4. Pentru un cod ciclic (7.4) cu un polinom generator (a se vedea exemplul 6.3.), Construiți o matrice generatoare.
Prin urmare, matricea generatoare pentru acest cod are forma:
Rezultatele obținute și argumentele privind structura algebrică a codurilor ciclice, date în secțiunea 6.2, ne permit să observăm o proprietate importantă a codurilor ciclice determinată de structura lor ciclică.
Proprietate 6.1. Produsul combinației de cod a unui cod ciclic de către un polinom arbitrar dă o combinație de cod de același cod ciclic.
Într-adevăr, orice produs al acestei forme este egal cu zero, adică aparține subspațiului de cod (secțiunea 6.2).
Mai multă dovadă elementară:
Suma obținută este suma deplasărilor ciclice ale combinațiilor de coduri care, în funcție de proprietatea închiderii codului grupului, ar trebui să producă o combinație a aceluiași cod ciclic.
La descrierea codurilor ciclice trebuie să fie acțiuni specifice privind polinoamele, comparativ cu vectorii și, în special, faptul că înmulțirea polinoamelor coincide cu înmulțirea scalară a vectorilor care prezintă aceste polinoame. Cu toate acestea, în clasa de reziduuri de modulo polinoame există o relație foarte strânsă între aceste concepte. Să fie un vector și polinomul corespunzător, precum și un vector și polinomul corespunzător. Vom presupune că polinoamele sunt ortogonale dacă condiția este satisfăcută.
Coeficientul de x din produs este
Termenii care conțin, apar datorită termenilor din produs care conțin. Dar deoarece, adică , atunci. Egalitatea poate fi reprezentată sub forma unui produs scalar:
În acest produs, primul vector corespunde unui (x). Cel de-al doilea vector conține coeficienții b (x). situată în ordine inversă și deplasată ciclic la elementul j +1 spre dreapta.
Astfel, dacă produsul este egal cu zero, atunci vectorul care corespunde polinomului a (x). este ortogonal la vectorul care corespunde polinomului b (x). ale căror componente sunt aranjate în ordine inversă și în plus față de fiecare schimbare ciclică a acestui vector. Converse este, de asemenea, adevărat. Dacă vectorul este ortogonal la vector și la fiecare schimbare ciclică a acestui vector, atunci
Având în vedere această specificitate, este necesar să se înregistreze coeficienții matricei de verificare în ordinea inversă în descrierea matriceală a codului. În această condiție de caz
Exemplul 6.5. Construiți matricea de verificare pentru codul ciclic (7.4) din exemplul anterior.
Pentru a construi matricea de verificare, găsim polinomul de testare
În virtutea faptului că starea produsului zero al polinoame și produsul scalar al vectorilor corespunzători nu se potrivesc, pentru egalitate la construirea vectorilor componente matrice corespunzătoare h (x), xh (x) și x 2 h (x) vom scrie în ordine inversă
În matricea de verificări obținute, toate cele 7 secvențe non-zero ale lungimii 3 sunt scrise ca coloane. Prin urmare, acest cod este un cod Hamming.
În general, codurile Hamming ciclice sunt construite pe baza generării de polinoame de gradul m. care sunt factori ai binomilor și care nu sunt factori ai unor binomiali de grad inferior. Rădăcinile acestor polinoame sunt de ordinul 2 m -1, adică ele sunt elemente primitive ale câmpului GF (2 m). Aceasta înseamnă că polinomul generator al codului Hamming generează câmpul GF (2 m).
În orice cod ciclic, suntem de acord că primele elemente n-k ale combinației de coduri, adică coeficienții utilizați ca elemente de testare și ultimele elemente k, adică coeficienții informațiilor (Figura 6.0).
x 0 x 1 x 2 x n-k-1 x n-k x n-2 x n-1
Din exemplul de mai sus se vede că ciclic matricea de verificare a parității (n, k) - codul conține coloane remainders după divizare prin polinomului generator g (x) a găsit coloanele .Sravnenie ale matricei de selectare din elementele GF câmp (2 martie) indică o potrivire cu nenul elemente ale GF (23). Rezultatele acestui exemplu vor fi folosite pentru a justifica echivalența diferitelor coloane ale calculului sindromului.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: