Inegalități de orice tip (cu semne de inegalități <или>) pot fi transformate
în egalitate prin adăugarea în partea stângă a inegalităților variabile suplimentare - reziduale sau excedente1, care sunt legate de inegalitățile de tip "<"
și ">" respectiv.
Pentru inegalitățile de tip "<" в левую часть неравенства вводится неотрицательная
variabila reziduală. De exemplu, în modelul Reddy Mikks (exemplul 2.1.1)
restricția privind cantitatea de materie primă Ml este dată sub forma inegalității 6x, + 4x2 <24. Вводя новую неотрицательную переменную s. которая показывает остаток
(suma neutilizată) de Ml brut, această restricție este transformată în egalitate
6x, + 4 ^ 2 + s, = 24, s,> 0.
Inegalitățile de tipul ">" în problemele de tip LP stabilesc de obicei limita inferioară a ceva. Variabila de exces determina excesul valorii din partea stanga
inegalități peste această limită. Astfel, în modelul "dietei" (exemplul 2.2.2), inegalitatea
xi + x2> 800 arată că producția zilnică a unui aditiv alimentar nu ar trebui să fie
să fie mai puțin de 800 de kilograme. Din punct de vedere matematic, această inegalitate este echivalentă egalității
x, + x2 - Sj = 800, S,> 0.
Valoarea pozitivă a variabilei de exces S indică excesul
suplimentarea zilnică a suplimentului peste valoarea minimă de 800 de lire sterline.
Este important să subliniem încă o dată faptul că variabilele suplimentare sunt st rezidual
și surplusul S, sunt întotdeauna nonnegative.
Partea dreaptă a ecuației poate fi întotdeauna inerentă, multiplicând totul
egalitatea cu -1. În plus, observăm că o inegalitate de tip "<" также преобразуется в неравенство типа ">"multiplicând ambele părți ale inegalității cu -1.
De exemplu, inegalitatea -jc, + x2 <-3 эквивалентно равенству
-xx + x2 + δ1 = -3, s,> 0.
Acum, multiplicând ambele părți ale acestei egalități cu -1, obținem o egalitate cu non-negativ-
partea dreaptă: x, -x2-s, = 3.
5. Algoritmul metodei simplex
Algoritmul metodei simplex găsește soluția optimă, având în vedere un număr limitat de soluții de bază admise. Algoritmul metodei simplex începe întotdeauna cu o soluție de bază admisibilă și apoi încearcă să găsească o altă soluție de bază fezabilă care "îmbunătățește" valoarea funcției obiective. Acest lucru este posibil numai dacă creșterea oricărei variabile zero (non-aleatoare) duce la o îmbunătățire a valorii funcției obiectiv. Dar pentru ca variabila non-variabilă să devină pozitivă, una dintre variabilele de bază actuale trebuie să fie făcută nulă, adică traduce în non-bază. Este necesar ca noua soluție să conțină exact variabile de bază m. În conformitate cu terminologia metodei simplex, variabila zero selectată este numită intrare (în bază), iar variabila de bază eliminată este numită excluse (din bază).
Două reguli pentru alegerea intrărilor și excluderea variabilelor în metoda simplex se vor numi condiția de optimitate și condiția admisibilității. Formăm aceste reguli și luăm în considerare și succesiunea acțiunilor efectuate la implementarea metodei simplex.
Condiția de optimitate. Variabila care trebuie introdusă în problema maximizării (minimizare) este o variabilă non-variabilă având cel mai mare coeficient negativ (pozitiv) din rândul z. Dacă în z-șir există mai mulți coeficienți, atunci alegerea variabilei de intrare este făcută arbitrar. Soluția optimă este realizată atunci când în z-string toate coeficienții pentru variabilele non-variație sunt non-negative (non-pozitive).
Condiția admisibilității. Cum de a maximiza sarcina, iar în problema de minimizare a exclude variabila de bază Selectat pentru care raportul dintre constrângerile în partea dreaptă la un factor pozitiv de conducere pe o coloană este minimă. Dacă există mai multe variabile de bază cu această proprietate, atunci alegerea variabilei excluse este arbitrară.
Secvența acțiunilor efectuate în metoda simplex.
Pasul 1. Există o soluție de bază inițială admisibilă.
Pasul 2. Pe baza condiției de optimitate, se determină variabila de intrare. Dacă nu există variabile de intrare, calculele sunt terminate.
Etapa 3. Pe baza condiției de admisibilitate, variabila excluse este selectată.
Etapa 4. O nouă soluție de bază este calculată prin metoda Gauss-Jordan. Mergeți la pasul 2.
Calculele în metoda simplex sunt efectuate iterativ, în sensul că condițiile pentru optimitate și admisibilitate, precum și pentru calcule, sunt aplicate tabelului simbolic curent, rezultând în tabelul următor. Vom numi tabele simplex succesive prin iterații.
SOLUȚIE INIȚIALĂ ARTIFICIALĂ
În exemplul 3.3.1, cu soluția de bază inițială admisibilă garantată,
Sa demonstrat că toate soluțiile de bază ulterioare obținute prin efectuarea metodei simplex vor fi de asemenea admise. În probleme de programare liniară,
unde toate constrângerile sunt inegalități de tipul "<" (с неотрицательной правой
parte), variabilele suplimentare (reziduale) permit formarea soluției de bază inițiale admisibile. În mod firesc, se pune întrebarea: cum să găsiți
Soluția inițială admisibilă inițială în problemele LP, în care există constrângeri în formă
egalități sau inegalități de tip ">"?
Cea mai obișnuită modalitate de a construi o soluție inițială admisibilă inițială a problemei LP este de a utiliza variabile artificiale. Aceste variabile în prima iterație joacă rolul variabilelor reziduale suplimentare, dar
la iterațiile ulterioare de la ele sunt eliberate. Au fost dezvoltate două metode strâns legate de găsirea soluției inițiale
variabile artificiale: metoda M-5 și metoda în două etape.
Lăsați problema LP să fie scrisă în formularul standard (vezi secțiunea 3.1). Pentru orice egalitate i în care nu există o variabilă reziduală suplimentară, introducem
o variabilă artificială A, care va intra apoi în soluția de bază inițială. Dar, deoarece această variabilă este artificială (cu alte cuvinte, ea nu are
ceea ce "semnificație fizică" în sarcina dată), este necesar să se facă astfel încât să
iterații ulterioare, a dispărut. Pentru a face acest lucru, expresia țintă
funcțiile introduc o pedeapsă.
Variabila R, prin intermediul unui număr pozitiv suficient de mare M, este penalizată prin intrarea în funcția obiectivă a expresiilor -MRj în cazul maximizării
funcția și expresia obiectivului + MR, - în caz de minimizare. În consecință,
Este normal să presupunem că procesul de optimizare a metodei simplex
Următorul exemplu clarifică detaliile.
dacă această metodă.
7. Metoda în două etape.
Metoda în două etape nu are dezavantajele inerente metodei M datorită
rotunjirea erorilor. După cum rezultă din numele acestei metode, procesul de rezolvare a problemei LP este împărțit în două etape. În prima etapă, se caută o soluție de bază inițială admisibilă. Dacă se găsește o astfel de soluție, atunci în a doua etapă se rezolvă problema inițială.
Pasul 1. Problema LP este scrisă în formularul standard, iar variabilele artificiale necesare sunt adăugate constrângerilor (ca în metoda M)
pentru a obține o soluție inițială. Problema LP este rezolvată
minimizarea sumei variabilelor artificiale cu constrângeri inițiale. Dacă valoarea minimă a acestei noi funcții obiective
mai mare decât zero, atunci problema inițială nu are o soluție acceptabilă și procesul de calcul se termină. (Amintiți-vă că valorile pozitive ale variabilelor artificiale indică faptul că,
că sistemul inițial de restricții este inconsistent.) Dacă noua funcție obiectiv este zero, mergeți la a doua etapă.
Etapa 2. Soluția de bază optimă obținută în prima etapă este folosită ca soluție inițială admisibilă inițială a problemei inițiale.
8. Cazuri speciale de utilizare a metodei simplex.
patru cazuri speciale care apar atunci când se utilizează metoda simplex.
2. Soluții alternative optime.
3. Soluții nelimitate.
4. Lipsa soluțiilor admise.
În studierea acestor cazuri, ne vom concentra în primul rând pe justificarea teoretică a cauzelor care conduc la astfel de situații și, în al doilea rând,
interpretările lor practice, aplicate problemelor reale.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: