Teorema. Numărul de unghiuri plane ale unui polyhedron este de două ori mai mare decât marginile sale.
Fie F11 F21 F11 fețele polyhedronului, iar kt este numărul laturilor feței F1. Dacă / este numărul de margini al polyhedronului, atunci
deoarece fiecare margine este o parte comună a două fețe. Deoarece numărul de unghiuri plane pentru fiecare față este egal cu numărul laturilor sale, numărul total de unghiuri plane este de asemenea 2t.
Se spune că două poliedre sunt izomorfe dacă se poate stabili o corespondență unu-la-un între fețele lor, 1955
1) fețele corespunzătoare au același număr de laturi;
2) două fețe având o margine comună corespund unor fețe care au de asemenea o muchie comună;
3) fețele care au un vârf comun corespund fețelor care au și un vârf comun.
Un exemplu de polyhedra izomorfă poate fi o piramida trunchiată și o prismă cvadrangulară.
Dăm fără dovezi o teoremă importantă a matematicianului francez Cox și (1813) asupra polyhedra convexă.
Teorema Cauchy. Dacă fiecare două fețe corespunzătoare a două polyhedra convexe izomorfe sunt egale una cu cealaltă, atunci aceste polyhedre sunt egale sau egale cu oglindă (§ 61).
Teorema Cauchy exprimă proprietatea "rigiditate" a unui polyhedron convex. Este imposibil să se schimbe dimensiunile unghiurilor dihedral ale unui polyhedron convex fără a se schimba unghiurile și laturile fețelor sale.
§ 68. Teorema lui Euler pentru polyhedra convexă
Teorema. Dacă n este numărul de fețe ale unui polyhedron convex, s este numărul de vârfuri și t este numărul muchiilor sale, atunci
Dovada. Luăm fața F a polyhedronului dat Φ și punctul S în interiorul lui. Fie S 'punctul oricărei alte fețe F'. Segmentul SS se află pe o parte a uneia dintre celelalte fețe ale policilului. În consecință, nu are puncte comune cu nici una dintre aceste fețe. Deoarece Φ este o cifră convexă, toate punctele interioare ale segmentului SS 'sunt puncte interioare ale polyhedronului.
Pe suprafața poliedrului ia un alt punct prea, nu situată pe fața F. Secțiunile SS „și SS„nu pot avea puncte în comun, cu excepția punctului S. Într-adevăr, în cazul în care aceste segmente au două puncte comune, unul dintre ei sa dovedit a fi parte dintr-un alt iar apoi a doua ar avea suprafața interioară a punctului poliedru F, ceea ce este contrar concluziei tocmai a făcut. rezultă că liniile care leagă punctul de delimitare S
nici F cu punctele fețelor rămase, nu au alte puncte comune, cu excepția capătului comun al lui S.
Desenați planul paralel cu fața F și localizați de el pe aceeași parte ca și polyedronul dat (figura 196). Luăm distanța planului a de pe fața F astfel încât să fie mai mică decât distanța față de planul feței F a vârfului cel mai apropiat de acest plan
poliedron care nu aparține unei fețe date. Apoi, vârfurile feței F și vârfurile rămase ale poliedrului se află pe laturile opuse ale planului a. Prin urmare, planul a intersectează toate fețele adiacente feței F.
Fie Fg secțiunea polyedronului de către planul a (în figură, PQRN patrulaterală). Prin această secțiune, polyedronul dat Φ este împărțit în două polyhedra. Fie $ 'una din cele două polyhedra care se află pe cealaltă parte a planului a, de-a lungul căreia fața F nu este localizată.
Este evident că numărul de fețe P „este egal cu numărul de fețe F. Numărul de noduri și numărul de muchii ale unui poliedru P“, care nu aparțin în pragul Fa. sunt respectiv egale cu numărul de noduri și numărul de muchii ale poliedru P nu aparțin se confruntă cu F. Modificări în numărul de noduri și muchii, prin urmare, poate avea loc numai prin înlocuirea F se confruntă dincolo ^. în mod evident,
că creșterea numărului de laturi este egală cu creșterea numărului de vârfuri. Dacă s 'este numărul de vârfuri ale polyhedronului Φ', iar t este numărul muchiilor sale, atunci
În consecință, dacă teorema Euler este valabilă pentru polyhedron $ ', atunci ea este valabilă pentru polyhedronul dat.
Proiectăm din centrul S către fața F0 toate celelalte fețe ale polyhedronului Φ '. După cum am văzut mai sus, razele emise din punctul S și trecând prin vârfurile D ale poliedrului $ 'nu au alte puncte comune. Prin urmare, fiecare dintre aceste fețe este proiectat pe o F0 cu fața la poligon convex titlu (Fig. 197) și F0 poligon ar fi descompuse când în poligon convex, numărul care este egal cu n-1 (m. E. Numărul de alte caracteristici. 197 fețe).
Fie k numărul de vârfuri al poligonului F0. Apoi, în interiorul acestui poligon se află proiecțiile s '- k ale vârfurilor rămase ale polyhedronului, care vor fi vârfurile poligoanelor situate în interiorul poligonului F0.
Deoarece fiecare față este proiectat pentru un poligon cu același număr de părți, suma unghiurilor plane ale polyhedron P „fără colțuri prag FQ este egal cu suma unghiurilor poligoanelor, care a fost descompuse fața F0. Vom socoti ultimele.
Suma tuturor unghiurilor cu vârfuri din interiorul poligonului F0 este egală cu N (sr-k). Suma tuturor unghiurilor cu noduri care coincid cu vârfurile poligonului FQ. este egal cu suma unghiurilor acestui poligon, adică 2d (k - 2). Prin urmare, obținem suma necesară a unghiurilor:
Înapoi 66 67 68 69 70 71. 79 >> Următorul
Trimiteți-le prietenilor: