© Flickr.com/Mike Zabrocki
Fagure de albine, faianță în baie, plăci pe șosea și lucrările artistului olandez Mauritsa Escher - ce au în comun? Se pare că toată lumea a ghicit deja: un model care umple spațiul fără goluri și fără suprapuneri. Un astfel de desen poate fi văzut pe podea în Laboratorul de Matematică al Muzeului Politehnic.
Instructorul de zbor Zoya Zakharova conduce seria "Matematică practică", una dintre subiecte - tigla și parchetul. "De fapt, parchetul este doar o parte a unei probleme de ambalare mai generale", spune ea. - De exemplu, dacă cifrele noastre sunt tridimensionale, sarcina este să le adăugăm cât mai strâns posibil, să aflăm dacă acest lucru este posibil și așa mai departe. În general, acest subiect rămâne foarte prost studiat. "
Și aceasta nu este doar matematica abstractă și nici măcar modelele lui Escher: de la parchet puteți trece la sarcini științifice destul de practice. Spuneți, la împachetarea particulelor minerale, pe densitatea căreia depind multe proprietăți fizice ale nisipului și ale solului.
Modelele mozaice ale Alhambrei au inspirat opera creatoare a lui Moritz Escher
Pardoseală corectă
Cele mai simple parchete sunt alcătuite din poligoane identice obișnuite având aceleași laturi și unghiuri. Pentru a face cifrele să atingă în partea de sus, fără a lăsa goluri, unghiurile lor convergente ar trebui să aibă în total 360 °, nu mai mult și nici mai puțin.
În fiecare vârf al unui parchet, numai un număr întreg de figuri (și unghiurile lor) pot converge, deci 360 ° trebuie împărțite complet prin valoarea unghiului lor intern. Această valoare este 180 ° * (n-2) / n, unde n este numărul de vârfuri ale cifrei corecte. De exemplu, pentru un triunghi echilateral - 180 ° * (3-2) / 3 = 60 °, și pentru un pătrat pătrat - 90 °.
Se pare că 360 ° / (180 ° * (n-2) / n) ar trebui să fie un număr întreg. Acest raport poate fi simplificată la 2 * n / (n-2) și se calculează că sub parchet principal, de obicei, se potrivesc doar câteva forme corecte - triunghiuri, dreptunghiuri (pătrate) și hexagoane ( „celule“). Din păcate, nu cinci, nici un octogon, din păcate, strada nu poate fi pavată în mod corespunzător.
Moritz Escher, Două Păsări (Nr. 18), 1938 Wikimedia
Penrose Mosaic și plăci Polytech
Folosind două sau mai multe forme, este posibilă pregătirea unui parchet semi-regulat și, cu ajutorul unor calcule simple, pentru a arăta că există exact opt dintre ele în plan. Cu toate acestea, geometria nu se limitează la polihedra obișnuită. Dacă nu ne bazăm pe astfel de figuri, dar putem folosi orice, parchetul posibil va deveni un număr infinit.
Putem refuza chiar și simetria transferului, așezând plăcile cu un model complicat: dacă o astfel de imagine este mutată undeva, nu va coincide niciodată cu cea originală. Un astfel de parchet neperiodic poate fi amenajat folosind o varietate de forme.
Studiile clasice cu privire la acest subiect în a doua jumătate a secolului al XX-lea a avut celebrul matematician britanic Roger Penrose, care a descris trei tipuri de mozaicuri, care au utilizat două până la șase cifre diferite plane zamoschayuschih fără lacune, iar modelul nu se repetă niciodată. În mozaicul Penrose, este imposibil să se găsească un model "minimal", care, copiat, ar deschide planul fără goluri. Este cu atât mai surprinzător faptul că mozaicul însuși, fără să se repete, se ciocnește întreg.
Al treilea tip de mozaic Penrose (P3) este construit din două tipuri de plăci. Principalul lucru aici este limitarea posibilelor combinații ale rombilor vecini, care sunt realizate fizic sub formă de proeminențe și depresiuni pe coaste
Podeaua din laboratorul de matematică al Muzeului Politehnic este o ilustrare excelentă a unui parchet neperiodic îndoit de trei tipuri de figuri - două tipuri de pentagone neregulate și un hexagon. La prima vedere poate părea că plăcile sunt stivuite într-un mod haotic și aleator. De fapt, ele sunt alese cu grijă; Căpitanii au trebuit să transpire, răspândind modelul.
Cu toate acestea, matematicienii au fost și mai dificili. Zeci de ani de cercetare au fost necesare pentru a găsi doar trei cifre din care se poate colecta o cifră neperiodică. Acest model a fost găsit de Robert Ammann abia în 1977. "Ammann și-a luat parchetul din diamante Penrose, urmărind traiectoriile unor puncte", adaugă Zoya Zakharova. - În acest caz, din diamantele Penrose este posibil să adăugați nu numai parchet non-periodic, dar și periodic. Dar Ammann a dezvoltat soluția lui Penrose: de la colecția sa, parchetul periodic nu poate fi îndoit. "
Parchetul non-periodic din laboratorul de matematică este elaborat în conformitate cu schema propusă de Robert Ammann în 1977
Trimiteți-le prietenilor: