12.1.2. Exemplu: distribuție normală (Gaussiană)
Teoria probabilității se dovedește că suma de o varietate de variabile aleatoare independente (indiferent de legea de distribuție) este o variabilă aleatoare distribuită în conformitate cu o distribuție normală (numită, de asemenea, teorema limitei centrale). Prin urmare, modelele normale de distribuție și cea mai largă gamă de fenomene pentru care se știe că sunt afectate de câțiva factori independenți independenți.
Vom lista din nou funcțiile încorporate disponibile în Mathcad pentru descrierea distribuției normale a probabilității:
- dnorm (x, μ, # 963; ) Este densitatea de probabilitate a distribuției normale;
- pnorm (x, μ, # 963; ) Este funcția de distribuție normală;
- corm (x) este funcția de distribuție normală pentru μ = 0, # 963; = 1;
- qnorm (P, μ, # 963; ) Este funcția inversă a distribuției normale;
- rnorm (M, # 963; ) Este un vector de m numere aleatoare independente, fiecare dintre ele având o distribuție normală:
- x este valoarea variabilei aleatoare;
- P este valoarea probabilității;
- μ este așteptarea matematică;
- # 963; - deviația rădăcină medie-pătrată.
Asteptarile si variatiile matematice sunt, de fapt, parametrii de distributie. Densitatea distribuției pentru cele trei perechi de valori ale parametrilor este prezentată în Fig. 12.3. Rețineți că densitatea dnormului de distribuție specifică probabilitatea unei variabile aleatoare x care se încadrează într-un interval mic de la x la x + # 916; x. Astfel, de exemplu, un prim grafic (linie solidă), probabilitatea ca variabila aleatoare X ia valoarea în vecinătatea zero, este de aproximativ trei ori mai mare decât probabilitatea ca acesta va avea o valoare în vecinătatea x = 2. Valorile unei variabile aleatorii mai mari de 5 și mai mici de -5 sunt foarte puțin probabile.
Fig. 12.3. Densitatea de probabilitate a distribuțiilor normale
Fig. 12.4. Funcțiile de distribuție normale
Funcția de distribuție F (x) (probabilitatea cumulativă) este probabilitatea ca o variabilă aleatoare să aibă o valoare mai mică sau egală cu x. După cum rezultă din semnificația matematică, acesta este un integral al densității de probabilitate în intervalul de la - ∞ la x. Funcțiile de distribuție pentru aceste legi normale sunt prezentate în Fig. 12.4. Funcția inversă la F (x) (probabilitatea inversă cumulativă). numită o cuantilă de distribuție, ne permite să determinăm valoarea lui x dintr-un argument dat p. iar variabila aleatoare va fi mai mica sau egala cu x cu probabilitatea p.
Aici și mai jos, graficele diferitelor funcții statistice prezentate în figuri sunt obținute utilizând Mathcad fără expresii suplimentare în spațiul de lucru.
Să dăm câteva exemple care ne permit să simțim semnificația matematică a funcțiilor considerate pe exemplul unei variabile aleatoare x. distribuite în conformitate cu legea normală cu μ = 0 și # 963; = 1 (listele 12.1-12.5).
Listarea 12.1. Probabilitatea ca x va fi mai mică de 1.881
Listing 12.2. 97% din cantitatea distribuției normale
Listing 12.3. Probabilitatea ca x să fie mai mare de 2
Listing 12.4. Probabilitatea ca x va fi în intervalul (2.3)
Listing 12.5. Probabilitatea ca | x |<2
Rețineți că sarcinile ultimelor două liste sunt rezolvate în două moduri diferite. Al doilea este asociat cu o altă funcție erf încorporată. denumită funcția de eroare (sau integritatea probabilității sau funcția Crump).
Semnificația matematică a funcției de eroare este clară din Lista 12.5. Integratul de probabilitate are doar un singur argument, spre deosebire de funcția de distribuție normală. Din punct de vedere istoric, acesta din urmă a fost recalculat prin integritatea probabilităților tabulare folosind formulele date în Lista 12.6 pentru valorile arbitrare ale parametrilor μ și # 963; (Lista 12.6).
Listarea 12.6. Probabilitatea ca x va fi în intervalul (2.3)
Dacă aveți de-a face cu simularea Monte Carlo, utilizați funcția rnorm încorporată ca un generator de numere aleatorii cu o lege normală de distribuție. În lista 12.7, funcționarea sa este prezentată prin crearea a doi vectori cu M = 500 elemente fiecare cu numere pseudo-aleatoare independente x1i și x2i distribuite conform legii normale. Caracterul distribuției elementelor aleatoare ale vectorilor poate fi judecat din Fig. 12.5. În viitor, vom întâlni adesea generarea de numere aleatorii și calcularea diferitelor lor caracteristici medii.
Listarea 12.7. Generarea a doi vectori cu o lege normală de distribuție
Fig. 12.5. Numerele pseudo-aleatoare cu o lege normală de distribuție (continuarea listei 12.7)
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: